(a) Para calcular a probabilidade de pelo menos 2 estudantes serem esportistas, podemos usar a probabilidade complementar, ou seja, calcular a probabilidade de nenhum ou apenas 1 estudante ser esportista e subtrair esse valor de 1.

A probabilidade de um estudante ser esportista é de 25%, portanto a probabilidade de um estudante não ser esportista é de 75%. Usando a distribuição binomial, podemos calcular a probabilidade de nenhum ou apenas 1 estudante ser esportista como:

P(X = 0) + P(X = 1) = C(15,0)(0,25)^0(0,75)^15 + C(15,1)(0,25)^1(0,75)^14

P(X = 0) + P(X = 1) = 0,075 + 0,188 = 0,263

Subtraindo esse valor de 1, temos:

P(pelo\ menos\ 2\ estudantes\ serem\ esportistas) = 1 - 0,263 = 0,737

(b) Para calcular a probabilidade de no mínimo 12 estudantes não serem esportistas, podemos usar novamente a probabilidade complementar e calcular a probabilidade de no máximo 11 estudantes não serem esportistas.

A probabilidade de um estudante não ser esportista é de 75%, portanto a probabilidade de um estudante ser esportista é de 25%. Usando a distribuição binomial, podemos calcular a probabilidade de no máximo 11 estudantes não serem esportistas como:

P(X ≤ 11) = Σ C(15,k)(0,25)^k(0,75)^(15-k), k = 0 to 11

Podemos calcular esse valor manualmente ou usar uma calculadora ou software estatístico para obter:

P(X ≤ 11) = 0,001

Subtraindo esse valor de 1, temos:

P(no\ mínimo\ 12\ estudantes\ não\ serem\ esportistas) = 1 - 0,001 = 0,999

Resposta:

(a) Para calcular a probabilidade de pelo menos 2 universitários serem esportistas, podemos calcular a probabilidade de nenhum ou apenas 1 ser esportista e subtrair esse valor de 1, ou podemos calcular diretamente a probabilidade de 2 ou mais serem esportistas. Vamos utilizar o segundo método:

Podemos modelar o número de universitários esportistas escolhidos como uma distribuição binomial com n = 15 e p = 0,25. A probabilidade de 2 ou mais universitários serem esportistas é dada por:

P(X ≥ 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1)

Onde X é o número de universitários esportistas escolhidos.

P(X = 0) = (0,75)^15 = 0,013

P(X = 1) = 15 × 0,25 × (0,75)^14 = 0,076

Substituindo esses valores na equação acima, temos:

P(X ≥ 2) = 1 - 0,013 - 0,076 = 0,911

Portanto, a probabilidade de pelo menos 2 universitários serem esportistas é de 0,911, ou aproximadamente 91,1%.

(b) Para calcular a probabilidade de no mínimo 12 dos 15 universitários não serem esportistas, podemos modelar o número de universitários não esportistas escolhidos como uma distribuição binomial com n = 15 e p = 0,75. A probabilidade de pelo menos 12 universitários não serem esportistas é dada por:

P(X ≥ 12) = P(X = 12) + P(X = 13) + P(X = 14) + P(X = 15)

Onde X é o número de universitários não esportistas escolhidos.

Podemos calcular cada uma das probabilidades acima utilizando a fórmula da distribuição binomial:

P(X = k) = (n choose k) × p^k × (1 - p)^(n - k)

Onde (n choose k) representa o número de combinações de n elementos tomados k a k. Utilizando essa fórmula, temos:

P(X = 12) = (15 choose 12) × 0,75^12 × 0,25^3 = 0,034

P(X = 13) = (15 choose 13) × 0,75^13 × 0,25^2 = 0,005

P(X = 14) = (15 choose 14) × 0,75^14 × 0,25^1 = 0,0003

P(X = 15) = (15 choose 15) × 0,75^15 × 0,25^0 = 0,000007

Somando esses valores, temos:

P(X ≥ 12) = 0,034 + 0,005 + 0,0003 + 0,000007 = 0,039

Portanto, a probabilidade de no mínimo 12 dos 15 universitários não serem esportistas é de 0,039, ou aproximadamente 3,9%.

Espero ter ajudado, bons estudos :)