Aplicando uma fina camada de tinta de espessura h à superfície de uma esfera de área externa S, o volume da esfera aumenta aproximadamente S*h.

Volume de uma esfera

Vamos considerar uma esfera de raio r. O volume V de uma esfera é dado pela fórmula:

[tex]$V = \frac{4}{3}\pi r^3$$[/tex]

Agora, se aplicarmos uma fina camada de tinta de espessura h à superfície da esfera, o raio da esfera se tornará r + h. Portanto, o novo volume V' da esfera será:

[tex]$V' = \frac{4}{3}\pi (r + h)^3$$[/tex]

Expandindo a expressão acima, temos:

[tex]$V' = \frac{4}{3}\pi (r^3 + 3r^2h + 3rh^2 + h^3)$$[/tex]

Subtraindo o volume original V da esfera do novo volume V', obtemos o acréscimo no volume ΔV:

[tex]\Delta V = V' - V = \frac{4}{3}\pi (3r^2h + 3rh^2 + h^3)$$[/tex]

Como a camada de tinta é fina, podemos assumir que h << r. Portanto, os termos que contêm h^2 e h^3 são muito pequenos em comparação com o termo que contém h e podem ser negligenciados. Assim, a expressão para ΔV se torna:

[tex]$$\Delta V = \frac{4}{3}\pi (3r^2h) = 4\pi rh$$[/tex]

Agora, a área externa S de uma esfera é dada por:

[tex]$$S = 4\pi r^2$$[/tex]

Substituindo S na expressão para ΔV, obtemos:

[tex]$$\Delta V = S * h$$[/tex]

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