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Resposta:

(a) vide prova na resolução abaixo

(b) 7

(c) 21

(e) 42

(f) 35

Passo 1

Observando as imagens, utilizaremos ela como base para resolução desse problema, onde o quadrado ABCD tem lado L.

Sabemos que para o cálculo da área de um triângulo qualquer podemos usar a seguinte fórmula:

[tex]\boxed{A=\frac{a*b*sen(\alpha )}{2}}[/tex]

Onde:

• a e b são os lados do triângulo

• [tex]sen(\alpha )[/tex] é o seno do ângulo entre esses dois lados

Passo 2

Na figura, adotaremos x como o seguimento PC. Portanto usando a fórmula anterior, podemos colocar x em função de L.

[tex]\boxed{\boxed{A_{PCD} = \frac{x*L*sen(45^{o}) }{2}}}[/tex]

Porém, sabemos que:

• [tex]\bold{A_{PCD} = 14}[/tex]

• [tex]\bold{sen(45^{o})=\frac{\sqrt{2}}{2} }[/tex]

[tex]14=\frac{x*L*\frac{\sqrt{2} }{2} }{2} \\28=\frac{x*L*\sqrt{2}}{2} \ \ \rightarrow \ \boxed{x=\frac{28\sqrt{2}}{L}}\\ \\ \therefore \ \bold{PC=\frac{28\sqrt{2}}{L}}[/tex]

(a) Dada a (Figura 2) percebemos que PCD é homólogo ao triângulo BCP, mas para provar devemos recorrer ao cálculo seguinte:

[tex]A_{BCP} = \frac{x*L*sen(45^{o}) }{2}, \ onde \ \boxed{x=\frac{28\sqrt{2}}{L}}\\ \\A_{BCP} =\frac{\frac{28\sqrt{2}}{L}*L*\frac{\sqrt{2}}{2} }{2} \\A_{BCP} = \frac{28}{2} \\ \\\therefore \ \boxed{A_{BCP} =14}[/tex]

(b) Munidos dessas informações agora podemos, calcular o valor da área do triângulo MCP.

[tex]A_{MCP}=\frac{x*MC*sen(45^{o})}{2} \\ \\A_{MCP} = \frac{x*\frac{L}{2}*\frac{\sqrt{2} }{2} }{2} \\ \\A_{MCP} =\frac{x*L*\sqrt{2}}{8}, \ mas \ \bold{x=\frac{28\sqrt{2} }{L}}\\ \\ A_{MCP} =\frac{\frac{28\sqrt{2}}{L}*L*\sqrt{2}}{8} \\ \\ \boxed{A_{MCP} =7}[/tex]

(c) Para calcular a área MCD, basta somarmos a área PCD com MCP, calculada no item (b). Portanto:

[tex]A_{MCD}=A_{PCD}+A_{MCP}\\A_{MCD}=14+7\\ \\\boxed{A_{MCD}=21}[/tex]

Passo 3

Antes de calcularmos a área do quadrado precisamos antes calcular a área do triângulo ABP.

Onde:

AC é diagonal triângulo e precisamos encontrar AP  em função de L.

 [tex]AC = AP+PC, \ mas \ \ \bold{AC=L\sqrt{2}} \ \ e \ \ \bold{PC=x}\\L\sqrt{2}=AP+x, \ onde \ ... \ \ x=\frac{28\sqrt{2} }{L} \\ \\AP=L\sqrt{2}-\frac{28\sqrt{2} }{L}\\ \\\therefore \ \boxed{AP=\frac{\sqrt{2}}{L}(L^{2}-28) }[/tex]

Agora calculando  a área ABP temos:

[tex]A_{ABP} = \frac{AP*L*sen(45^{o}) }{2}\\ \\A_{ABP} = \frac{\frac{\sqrt{2} }{L}(L^{2}-28)*L*\frac{\sqrt{2} }{2} }{2} \\ \\\boxed{A_{ABP} = \frac{L^{2}-28}{2} }[/tex]

Calculando a área BMP:

[tex]A_{BMP}=A_{BCP}-A_{MCP}\\A_{BMP}= 14-7\\ \\\therefore \ \boxed{A_{BMP}=7}[/tex]

Para encontrarmos o valor de L, precisamos de outra forma de escrever x e igualar os valores encontrados. Portanto, por semelhança de triângulos APD e MCP são opostos pelo vértice, então temos:

                                         [tex]\boxed{\boxed{\frac{AP}{PC}=\frac{AD}{MC}} }[/tex]

• [tex]\bold{AP} = L\sqrt{2}-x[/tex]
• [tex]\bold{PC}=x[/tex]
• [tex]\bold{AD}=L[/tex]
• [tex]\bold{MC}=\frac{L}{2}[/tex]

Substituindo na razão acima:

[tex]\frac{L\sqrt{2} -x}{x} =\frac{L}{\frac{L}{2} } \\ \\\frac{L\sqrt{2}-x }{x} =2 \\ \\L\sqrt{2}-x =2x \ \ \rightarrow 3x=L\sqrt{2} \ \ \therefore \ \boxed{\boxed{x=\frac{L\sqrt{2} }{3} }}[/tex]

Mas, do Passo 2  temos que x também assume o seguinte valor:

[tex]\boxed{x=\frac{28\sqrt{2}}{L}}[/tex]

Portanto igualando as duas equações temos:

[tex]\frac{28\sqrt{2}}{L}=\frac{L\sqrt{2}}{3} \\\\L^{2}=3*28\ \ \ \therefore \boxed{\boxed{L=\sqrt{84}}}[/tex]

Passo 4

Agora substituindo o valor de L nas equações anteriores temos:

A área ABP;

                                         [tex]\boxed{A_{ABP} = \frac{L^{2}-28}{2} }[/tex]    

[tex]A_{ABP} = \frac{(\sqrt{84} )^{2}-28}{2} \\ \\A_{ABP} = \frac{84-28}{2} \ \ \ \rightarrow \ \ \boxed{A_{ABP}=28}[/tex]

Assim, podemos calcular o item (d), (e) e (f)

(d) Calculando a área do quadrado ABCD:

[tex]A_{\boxed{}}=L^{2} , \ onde \ L=\sqrt{84} \\ \\\therefore \ \ \boxed{A_{\boxed{}}=84}[/tex]

(e) Calculando a área do triângulo ABC:

• Sabemos que a área do triângulo ABC é metade da área total, ou seja:

[tex]A_{ABC}=\frac{L^{2}}{2} \\ \\ A_{ABC}=\frac{84}{2} \ \rightarrow \ \boxed{A_{ABC}=42 }[/tex]

(f) Calculando a área do quadrilátero ABMP:

                            [tex]\boxed{A_{ABMP}=A_{ABP}+A_{BMP}}[/tex]

Onde:

• [tex]\bold{A_{ABP}=28}[/tex]
• [tex]\bold{A_{BMP}=7}[/tex]

[tex]A_{ABMP}=28+7\\ \\\boxed{\boxed{A_{ABMP}=35}}[/tex]