No plano cartesiano, a reta r de equação y = ax + b intersecta a reta s de equação y = px + q no ponto A(0, 3), e intersecta o eixo das abscissas no ponto B , sendo a, b, p e q números reais. Se a · p = , as coordenadas do ponto de intersecção da reta s com o eixo das abcissas é (A) (4, 3). (B) (5, 0). (C) (4, 0). (D) (0, –3). (E) (0, –4).
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Resposta:
Explicação passo a passo:
Para encontrar o ponto de intersecção da reta s com o eixo das abscissas (eixo x), precisamos encontrar o valor de x quando y = 0 na equação da reta s, que é y = px + q.
Substituindo y por 0 na equação, temos:
0 = px + q
Agora, vamos usar a informação de que a reta r de equação y = ax + b intersecta a reta s no ponto A(0, 3). Isso significa que quando x = 0 e y = 3, as equações de ambas as retas são iguais.
Para a reta r, temos y = ax + b. Substituindo x = 0 e y = 3:
3 = a(0) + b
3 = b
Agora que sabemos que b = 3, podemos voltar à equação da reta s:
0 = px + q
Substituindo b por 3, temos:
0 = px + 3
Agora, resolvemos para x:
px = -3
x = -3/p
Agora, é dito que a · p = _ (não é fornecido o valor de a · p). Vamos chamar a · p de k:
a · p = k
Portanto, temos:
p = k/a
Substituindo p por k/a na equação de x:
x = -3/(k/a)
x = -3a/k
Agora, encontramos a coordenada do ponto de intersecção da reta s com o eixo das abscissas: (x, 0) = (-3a/k, 0).
Agora, voltamos às opções fornecidas para encontrar a resposta correta.
Vamos considerar a opção (C) (4, 0):
Se x = 4, a coordenada do ponto de intersecção da reta s com o eixo das abscissas seria (4, 0). Mas nós encontramos que x = -3a/k, então, para que isso seja verdade, precisaríamos ter -3a/k = 4. No entanto, não temos informações suficientes para determinar o valor exato de a ou k, então não podemos confirmar que essa opção é correta.
Vamos considerar a opção (B) (5, 0):
Se x = 5, a coordenada do ponto de intersecção da reta s com o eixo das abscissas seria (5, 0). Mas nós encontramos que x = -3a/k, então, para que isso seja verdade, precisaríamos ter -3a/k = 5. Da mesma forma, como não temos informações suficientes sobre os valores de a e k, não podemos confirmar que essa opção é correta.
Vamos considerar a opção (D) (0, -3):
Se x = 0, a coordenada do ponto de intersecção da reta s com o eixo das abscissas seria (0, -3). Nesse caso, a equação correta para o ponto de intersecção seria (-3a/k, 0), o que é verdade, pois se x = -3a/k e y = 0, obtemos a coordenada (0, -3). Portanto, a opção (D) (0, -3) é a resposta correta, desde que a · p = k.