[tex]\blacksquare[/tex] Após cálculos, concluímos que as coordenadas do centro e o raio da circunferência que tem como equação geral [tex]\large{\text{$\sf{x^2+y^2-6x-2y-6=0}$}}[/tex] são, respectivamente, [tex]\large{\text{$\sf{C(3,1)}$}}[/tex] e [tex]\large{\text{$\sf{r=4}$}}[/tex].
Lista de comentários
[tex]\blacksquare[/tex] Após cálculos, concluímos que as coordenadas do centro e o raio da circunferência que tem como equação geral [tex]\large{\text{$\sf{x^2+y^2-6x-2y-6=0}$}}[/tex] são, respectivamente, [tex]\large{\text{$\sf{C(3,1)}$}}[/tex] e [tex]\large{\text{$\sf{r=4}$}}[/tex].
A equação geral de uma circunferência é da forma:
[tex]\Large{\text{$\sf{x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2-r^2=0}$}}[/tex]
Onde:
Queremos encontrar o centro e o raio da circunferência de equação:
[tex]\Large{\text{$\sf{x^2+y^2-6x-2y-6=0}$}}[/tex]
Vamos comparar a equação geral da circunferência com a equação dada pelo enunciado:
[tex]\Large{\text{$\begin{cases} \sf{x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2-r^2=0} \\ \sf{x^2+y^2-6x-2y-6=0} \end{cases}$}}[/tex]
Coordenadas do centro
Comparando as duas equações, podemos ver que:
[tex]\Large{\text{$\sf{-2ax=-6x~_{Eq.1}}$}} \\\\\\ \Large{\text{$\sf{-2by=-2y~_{Eq.2}}$}}[/tex]
Vamos resolver essas equações para encontrar a e b:
Equação 1
[tex]\Large{\text{$\sf{-2ax=-6x}$}} \\\\\\ \Large{\text{$\sf{-2a=-6}$}} \\\\\\ \Large{\text{$\sf{a=\dfrac{-6}{-2}}$}} \\\\\\\\ \Large{\text{$\sf{a=3}$}}[/tex]
Equação 2
[tex]\Large{\text{$\sf{-2by=-2y}$}} \\\\\\ \Large{\text{$\sf{-2b=-2}$}} \\\\\\ \Large{\text{$\sf{b=\dfrac{-2}{-2}}$}} \\\\\\\\ \Large{\text{$\sf{b=1}$}}[/tex]
Encontramos que [tex]\large{\text{$\sf{a=3}$}}[/tex] e [tex]\large{\text{$\sf{b=1}$}}[/tex], logo o centro dessa circunferência será:
[tex]\Large{\text{$\sf{C(a,b) \implies C(3,1)}$}}[/tex]
Raio da circunferência
Para encontrar o raio da circunferência, basta compara os termos independentes da equação geral com os termos independentes da equação do enunciado.
Temos independentes são aqueles que não estão acompanhados por nenhuma incógnita:
[tex]\Large{\text{$\sf{a^2+b^2-r^2=-6}$}}[/tex]
Já sabemos que [tex]\large{\text{$\sf{a=3}$}}[/tex] e [tex]\large{\text{$\sf{b=1}$}}[/tex], então:
[tex]\Large{\text{$\sf{3^2+1^2-r^2=-6}$}} \\\\\\ \Large{\text{$\sf{9+1-r^2=-6}$}} \\\\\\ \Large{\text{$\sf{10-r^2=-6}$}} \\\\\\ \Large{\text{$\sf{-r^2=-6-10}$}} \\\\\\ \Large{\text{$\sf{-r^2=-16}$}}[/tex]
Multiplicando ambos os lados por -1:
[tex]\Large{\text{$\sf{r^2=16}$}} \\\\\\ \Large{\text{$\sf{r=\sqrt{16}}$}} \\\\\\ \Large{\text{$\sf{r=4}$}}[/tex]
Logo, o raio [tex]\Large{\text{$\sf{r}$}}[/tex] dessa circunferência é 4.
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