Resposta:

k = 1

Olá!

Aplique o Teorema do Resto:

R(x) é o resto da divisão

P(x) = 2x³ - 5x² + kx - 2

M(x) = x + 2i

Faça M(x) = 0

x + 2i = 0

x = -2i

Deseja-se que:

R(x) = 18 + 14i.

É um número complexo. Logo, pelo teorema:

R(x) = P(2i)

18 + 14i = 2(-2i)³ - 5(2i)² - k(-2i) - 2

18 + 14i = 2(-8i³) - 5(4i²) + 2ki - 2

18 + 14i = -16i³ - 20i² + 2ki - 2

Considerando que i = √-1:

i³ = (√-1)³ = -i

i² = -1

i = i

18 + 14i = -16(-i) - 20(-1) + 2ki - 2

18 + 14i = 16i + 20 - 2ki - 2

18 + 14i = 16i - 2ki + 18

Ou seja as partes imaginárias do número complexo devem ser iguais.

14i = 16i - 2ki

2ki = 16i - 14i

2ki = 2i              

Implica, então que:

k = 1

Ou seja, k deve ser igual a 1.