Suponha a ordem de "apertos" abaixo.
Para que todos se cumprimentem, 
o primeiro cumprimenta 7. 
O segundo cumprimenta 6 (não precisa cumprimentar o primeiro que já o cumprimentou)
...
O sétimo cumprimenta o oitavo.
O oitavo não precisa cumprimentar mais ninguém.
ou seja, são
7+6+5+4+3+2+1 = 8*7/2 = 28 apertos