Verified answer

Resposta:

[tex]{\frac{1}{6}\left( \ln\left( x^{6}-1 \right)-6\ln\left( x \right) \right)+C}[/tex]

Explicação passo a passo:

[tex]\int_{}^{}\frac{1}{x^{7}-x}dx=\int_{}^{}\frac{1}{x^{7}\left( 1-\frac{1}{x^{6}} \right)}dx[/tex]

Faremos agora uma substituição:

[tex]u=1-\frac{1}{x^{6}}=\frac{x^{6}-1}{x^{6}}\\\\du=\frac{6x^{5}.x^{6}-6x^{5}.\left( x^{6}-1 \right)}{x^{12}}dx=\frac{6x^{5}}{x^{12}}dx=\frac{6}{x^{7}}dx[/tex]

Dai temos,

[tex]dx=\frac{x^{7}}{6}du[/tex]

[tex]\int_{}^{}\frac{1}{x^{7}\left( 1-\frac{1}{x^{6}} \right)}dx=\int_{}^{}\frac{1}{x^{7}.u}.\frac{x^{7}}{6}du\\\\\frac{1}{6}\int_{}^{}\frac{1}{u}du=\frac{\ln\left( u \right)}{6}+C[/tex]

Conclusão:

[tex]\int_{}^{}\frac{1}{x^{7}-x}dx=\boxed{\frac{\ln\left( 1-\frac{1}{x^{6}} \right)}{6}+C}[/tex]

Organizando os termos você chega na resposta dita lá em cima!

Se tiver alguma dúvida pode escrever um comentário, se possível dê um "melhor resposta" pra fortalecer tmj <3