Qual a derivada de 5^x+ log de x na base 3.... Pergunta de ideia deLucassLopes

January 2020 1 22 Report

Qual a derivada de 5^x+ log de x na base 3

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acidbutter $\displaystyle \frac{d}{dx}5^x+\log_3x=\frac{d}{dx}5^x+\frac{d}{dx}\log_3x$
pela propriedade da derivada (derivada da soma é a soma das derivadas)

1) resolver cada derivada separadamente:
$\displaystyle \frac{d}{dx}5^x$
passar para forma de exponencial:
$a^b=e^{ln a^b}$ pois $\displaystyle e^{\ln a^b}=e^{b\cdot\ln a}$ e $e^{\ln a^b}=a^b$
então:
$\displaystyle \frac{d}{dx}5^x=\frac{d}{dx}e^{x\cdot \ln5}\longrightarrow x\cdot \ln5=u$
pela regra da cadeia:
$\displaystyle \frac{d}{dx}e^{u}=\frac{d}{du}e^u\cdot\frac{d}{dx}u\implies \frac{d}{dx}e^{x\ln5}=\frac{d}{du}e^{u}\cdot\frac{d}{dx}(x\ln5)\implies \\\\=e^{u}\cdot (\ln5)\longrightarrow u=x\ln5\longrightarrow =e^{x\ln5}\cdot\ln5=5^x\ln5\\\\ \frac{d}{dx}5^x=5^x\cdot\ln5$

segunda:
$\displaystyle \frac{d}{dx}\log_3x$
pela regra de mudança de base:
$\displaystyle \frac{d}{dx}\log_3x=\frac{d}{dx}\left(\frac{\ln x}{\ln3}\right)$
coloca a constante pra fora:
$\displaystyle \frac{1}{\ln3}\cdot\frac{d}{dx}\ln x$
derivada comum:
$\displaystyle \frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}$
então:
$\displaystyle \frac{d}{dx}\left(\frac{\ln x}{\ln3}\right)=\frac{1}{\ln3}\cdot\frac{1}{x}=\frac{1}{x\ln3}=(x\ln3)^{-1}$

voltando para a primeira notação:
$\displaystyle \frac{d}{dx}(5^x+\log_3x)=\boxed{5^x\cdot\ln5+(x\cdot\ln3)^-1}$
simplificando:
$\displaystyle 5^x\ln5+\frac{1}{x\ln3}=\frac{(x\ln3)(5^x\ln5)}{x\ln3}+\frac{1}{x\ln3}=\boxed{\frac{(x\ln3)(5^x\ln5)+1}{x\ln3}}$

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