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Identidades Trigonométricas

Para chegar na identidade de [tex]\sf tg(2x)[/tex] precisamos conhecer outras duas identidades, são eles

[tex]\sf cos(2x)=cos^2x-sen^2x\\ \\ \sf sen(2x)= 2sen(x).cos(x)[/tex]

Sabemos que [tex]\sf tg(x)=\dfrac{sen(x)}{cos(x)}[/tex], então

[tex]\sf tg(2x)=\dfrac{sen(2x)}{cos(2x)}[/tex]

Daí

[tex]\sf tg(2x)=\dfrac{sen(2x)}{cos(2x)}=\dfrac{2sen(x)cos(x)}{cos^2x-sen^2x}=\Big(\dfrac{cos^2x-sen^2x}{2sen(x)cos(x)}\Big)^{-1}=\Big(\dfrac{cos^2x}{2sen(x)cos(x)} -\dfrac{sen^2x}{2sen(x)cos(x)}\Big)^{-1}[/tex]

[tex]\sf = \Big(\dfrac{cos(x)}{2sen(x)} -\dfrac{sen(x)}{2cos(x)}\Big)^{-1}=\Big(\dfrac{1}{2tg(x)}-\dfrac{tg(x)}{2} \Big)^{-1}=\Big(\dfrac{1-tg^2x}{2tg(x)} \Big)^{-1}[/tex]

[tex]\sf= \Big(\dfrac{1-tg^2x}{2tg(x)} \Big)^{-1}=\dfrac{2tg(x)}{1-tg^2x}[/tex]

Então [tex]\boxed{\bf tg(2x)=\dfrac{2tg(x)}{1-tg^2x} }~~\checkmark[/tex]