luheitickpeeegx
boa tarde, apesar da incongruência citada pela questão(ter um (p) maiúsculo e outro minúsculo, considerarei-os como iguais para uma solução real) a resolução desse simplório exercício se dar a pela teoria de determinantes criadas a partir do estudo de sistemas lineares.
Sabemos, que para 3 pontos serão colineares se e somente se: |3p 2P 1|
|4 1. 1|=0
|1 3. 1|.
Pela regra de obtenção do determinante de uma matriz quadrada de ordem três (vulgo Sarrus) tem-se:

3P+4P+12-8P-9P-2=0
-10P + 10=0
P=1.

logo para os pontos da reta serem colineares é suficiente e necessário que o valor da incógnita p, tenha valor de 1,00 em notação de base decimal.

Paulloh1 Olá!!!

Resolução!!!

A ( 3p, 2p ) , B ( 4, 1 ) e C ( 2, 3 )

Para que sejam colineares , valor do determinante da matriz, tem que ser igual a zero.

D = 0

| x1 `` y1 `` 1 |
| x2 `y2 `` 1 | = 0
| x3 `y3 `` 1 |

**

A ( 3p, 2p ) , → x1 = 3p e y1 = 2p
B ( 4, 1 ) , → x2 = 4 e y2 = 1
C ( 2, 3 ) , → x3 = 2 e y3 = 3

Substituindo!

| 3p 2p 1 |
| 4 `` 1 `` 1 | = 0
| 2 `` 3 ``1 |

Aplicando a regra de Sarrus!

| 3p 2p 1 | 3p 2p |
| 4 `` 1 `` 1 | 4 `` ` 1 | = 0
| 2 `` 3 ``1 | 2 ``` 3 |

3p•1•1 + 2p•1•2 + 1•4•3 - 2•1•1 - 3•1•3p - 1•4•2p = 0

3p + 4p + 12 - 2 - 9p - 8p = 0
7p + 10 - 17p = 0
7p - 17p = - 10
- 10p = - 10 • ( - 1 )
10p = 10
p = 10/10
p = 1

Logo, P = 1

Espero ter ajudado!!