Qual o resultado desta conta? Ele é racional ou irracional??.... Pergunta de ideia deGCrazzy

GCrazzy @GCrazzy

April 2020 1 42 Report

Qual o resultado desta conta? Ele é racional ou irracional??

$\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} - \sqrt{4 - 2\sqrt{3}}$

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Como não sabemos o valor da expressão, vamos chamá-la de $x$ .

Daí,

$\\ \sqrt{4 + 2\sqrt{3}} - \sqrt{4 - 2\sqrt{3}} = x \\\\ \left ( \sqrt{4 + 2\sqrt{3}} - \sqrt{4 - 2\sqrt{3}} \right )^2 = x^2 \\\\ 4 + 2\sqrt{3} - 2 \times \sqrt{\left (4 + 2\sqrt{3} \right ) \cdot \left (4 - 2\sqrt{3} \right )} + 4 - 2\sqrt{3} = x^2 \\\\ x^2 = 8 - 2\sqrt{16 - 4 \times 3} \\ x^2 = 8 - 2\sqrt{4} \\ x^2 = 8 - 4 \\ x^2 = 4 \\ \boxed{x = 2}$

Uma vez que, $\\ \sqrt{4 + 2\sqrt{3}} > \sqrt{4 - 2\sqrt{3}}$ o valor encontrado não pode ser negativo!

Racional!

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