Resposta:

Para determinar a classificação relativa ao ângulo entre dois vetores, você pode usar o produto escalar (ou produto interno) entre esses vetores. O produto escalar entre dois vetores u e v é dado pela fórmula:

u · v = |u| * |v| * cos(θ),

onde θ é o ângulo entre os vetores u e v, e |u| e |v| são seus comprimentos (normas).

Neste caso, os vetores são:

u = (1, -4, 1)

v = (-2, -1, -1)

Primeiro, você pode calcular o produto escalar entre esses dois vetores:

u · v = (1 * -2) + (-4 * -1) + (1 * -1)

u · v = -2 + 4 - 1

u · v = 1

Agora, para determinar o ângulo θ, você pode usar a fórmula:

cos(θ) = (u · v) / (|u| * |v|)

cos(θ) = 1 / (|u| * |v|)

Para determinar se o ângulo entre os vetores é agudo, obtuso ou reto, você deve verificar o valor de cos(θ). Se cos(θ) for positivo, o ângulo é agudo. Se for negativo, o ângulo é obtuso. Se for zero, os vetores são perpendiculares.

Neste caso, o valor de cos(θ) é 1 / (|u| * |v|). Agora, vamos calcular |u| e |v|:

|u| = √(1^2 + (-4)^2 + 1^2) = √(1 + 16 + 1) = √18

|v| = √((-2)^2 + (-1)^2 + (-1)^2) = √(4 + 1 + 1) = √6

Agora, podemos calcular cos(θ):

cos(θ) = 1 / (√18 * √6)

cos(θ) = 1 / (√(18 * 6))

cos(θ) = 1 / (√108)

cos(θ) = 1 / (6√3)

Como 6√3 é positivo, cos(θ) é positivo, portanto, o ângulo entre os vetores é agudo.

Agora, vamos analisar as afirmações:

I. Os vetores são perpendiculares - Isso está incorreto, pois determinamos que o ângulo é agudo, não reto.

II. Os vetores formam um ângulo agudo - Isso está correto, como determinado acima.

III. Os vetores formam um ângulo obtuso - Isso está incorreto, pois determinamos que o ângulo é agudo.

IV. Os vetores são complementares - Essa afirmação não é relevante para a classificação dos ângulos entre vetores.

Portanto, a alternativa correta é:

C) Somente a sentença II está correta.

Explicação passo a passo:

Claro, vou explicar o raciocínio por trás da resposta correta.

Primeiro, calculamos o produto escalar entre os vetores u e v:

u · v = 1 * (-2) + (-4) * (-1) + 1 * (-1) = -2 + 4 - 1 = 1.

Em seguida, calculamos as normas (comprimentos) dos vetores u e v:

|u| = √(1^2 + (-4)^2 + 1^2) = √(1 + 16 + 1) = √18.

|v| = √((-2)^2 + (-1)^2 + (-1)^2) = √(4 + 1 + 1) = √6.

Agora, usamos o produto escalar e as normas para calcular o coseno do ângulo entre os vetores:

cos(θ) = (u · v) / (|u| * |v|) = 1 / (√18 * √6) = 1 / (6√3).

Aqui está o ponto-chave: O valor de 1 / (6√3) é positivo, pois tanto o numerador (1) quanto o denominador (6√3) são positivos. Isso significa que o coseno do ângulo θ é positivo.

Agora, a interpretação do sinal do coseno é crucial para determinar o tipo de ângulo formado:

- Se o coseno for positivo, significa que o ângulo θ está entre 0 e 90 graus, ou seja, é um ângulo agudo.

- Se o coseno for zero, significa que os vetores são perpendiculares.

- Se o coseno for negativo, significa que o ângulo θ está entre 90 e 180 graus, ou seja, é um ângulo obtuso.

Como determinamos que o coseno é positivo (1 / (6√3) é positivo), concluímos que os vetores formam um ângulo agudo. Portanto, a sentença II ("Os vetores formam um ângulo agudo") está correta.

As outras sentenças estão incorretas com base no cálculo do ângulo entre os vetores e sua classificação relativa, como explicado acima.