[tex]\begin{cases}1x+4y+7z=2 \\ 2x+3y+6z=2\\5x+1y-1z=8 \end{cases}[/tex]

Esse é um sistema SPD com solução sendo  [tex]S = {\e\{(-1,2,-1) {\e\}[/tex]

Explicação:

Um sistema por exemplo:

[tex]\begin{cases}1x+4y+7z=2 \\ 2x+3y+6z=2\\5x+1y-1z=8 \end{cases}[/tex]

Poderia ser reescrito como uma multiplicação de matrizes: em forma matricial que é sempre:[tex]A \times \overrightarrow{x} = \overrightarrow{b}[/tex] ou seja,

Matriz Coeficientes X Matriz Coluna das Variáveis = Matriz Termos Independentes

.............................

Neste caso a matriz dos coeficientes (números nas frentes da letras) serão as linhas da matriz A.

[tex]\left(\begin{array}{ccc}1&4&7 \\2&3&6 \\5&1&-1 \end{array} \right)[/tex]

Neste caso a matriz coluna das variáveis será com x, y, z:

[tex]\left(\begin{array}{ccc}x\\y \\z\end{array} \right)[/tex]

Neste caso a matriz dos termos independentes (os que tão depois do igual no sistema):

[tex]\left(\begin{array}{ccc}2\\2 \\8\end{array} \right)[/tex]

Pela equação matricial temos que escrever :[tex]A \times \overrightarrow{x} = \overrightarrow{b}[/tex]  então ficou:

[tex]\left(\begin{array}{ccc}1&4& \:7 \\2&3& \:6 \\5&1&-1 \end{array} \right) \times \left(\begin{array}{ccc}x\\y\\z\end{array} \right)=\left(\begin{array}{ccc}2\\2 \\8\end{array} \right)[/tex]

É exatamente o que tens na imagem :) . Basta fazer o reverso.  Pense que fazendo a multiplicação de matrizes ia dar aquele sistema lá em cima. Ou basta pensar que se a ordem das variáveis é x y z então a primeira coluna da matriz é do x, a segunda é do y e a terceira é do z.

[tex]\begin{cases}1x+4y+7z=2 \\ 2x+3y+6z=2\\5x+1y-1z=8 \end{cases}[/tex]

É assim!

RESOLUÇÃO

Para resolver utilizando a matriz basta utilizar Escalonamento Gaussiano. Consiste em escrever a matriz AUMENTADA (com todos os coeficientes inclusive os independentes) e realizar operações entre as linhas.

[tex]\begin{cases}1x+4y+7z=2 \\ 2x+3y+6z=2\\5x+1y-1z=8 \end{cases}[/tex]

A sua matriz aumentada é:

[tex]\begin{bmatrix}1&4&7&2\\2&3&6&2 \\5&1&-1 &8\end{bmatrix}[/tex]

O primeiro elemento não nulo da primeira linha é o nosso pivô. Temos que anular todos abaixo dele, ou seja, o 1 e o 5. É a regra de Gauss.

Olhe o elemento 2. Precisamos que ele vire 0. Pense que se no lugar do 1 (o pivô) se por acaso tivesse - 2 e dai soma-se o nosso 2 com esse - 2 ia dar 0. É isso. Esse é o pensamento, fazer aparecer o oposto do que queremos anular no lugar do pivo. A segunda linha vai ser trocada pela operação: MULTIPLICAR A PRIMEIRA LINHA POR - 2 E SOMAR COM A SEGUNDA LINHA. Só a segunda linha que mudou. O resto fica igual.

Então olha só como que se escreve:

[tex]\begin{bmatrix}1&4&7&2\\2&3&6&2 \\5&1&-1 &8\end{bmatrix} \underrightarrow{L_2 \leftarrow -2L_1 +L_2 }\begin{bmatrix}1&4&7&2\\ \\5&1&-1 &8\end{bmatrix}[/tex]

Agora tenque fazer a operação dita. O primeiro elemento da segunda linha vamos achar  fazendo- 2 x primeira linha (elemento 1) ou seja - 2x 1 dá -2  e soma este resultado com a segunda linha(o elemento 2) fica -2+2 que dá ZERO. Era o que queriamos. Ficou assim:

[tex]\begin{bmatrix}1&4&7&2\\ 0\\5&1&-1 &8\end{bmatrix}[/tex]

Fizemos isso para aparecer esse zero, mas nao pode fazer só isso. Realiza pra todas colunas o mesmo.

SEGUNDO ELEMENTO: será - 2 x 4 que dá - 8 somado com o 3 dá -5

TERCEIRO ELEMENTO: será -2 x 7 que dá -14 somado com 6 dá -8

QUARTO ELEMENTO: será -2 x 2 que dá -4 somado com 2 dá -2

A matriz nova ficou :

[tex]\begin{bmatrix}1&4&7&2\\ 0&-5&-8&-2\\5&1&-1 &8\end{bmatrix}[/tex]

Então a nossa escrita fica assim:

[tex]\begin{bmatrix}1&4&7&2\\2&3&6&2 \\5&1&-1 &8\end{bmatrix} \underrightarrow{L_2 \leftarrow -2L_1 +L_2 }\begin{bmatrix}1&4&7&2\\ 0&-5&-8&-2\\5&1&-1 &8\end{bmatrix}[/tex]

Precisamos zerae o 5 também lembra?  Então usa o pivô 1. Se no lugar do 1 tivesse um -5 e dai soma-se com nosso 5 ia dar zero ne?   Então fazemos isso.  A linha 3 vamos trocar por -5 vezes a linha 1 somado a linha três. Quem vai mudar é a linha 3.

[tex]\begin{bmatrix}1&4&7&2\\2&3&6&2 \\5&1&-1 &8\end{bmatrix} \underrightarrow{L_2 \leftarrow -2L_1 +L_2 }\begin{bmatrix}1&4&7&2\\ 0&-5&-8&-2\\5&1&-1 &8\end{bmatrix} \underrightarrow{L_3 \leftarrow -5L_1 +L_3 }[/tex]

[tex]\begin{bmatrix}1&4&7&2\\ 0&-5&-8&-2\\&&&\end{bmatrix}[/tex]

PRIMEIRO ELEMENTO: -5 x 1 dá -5 e somado ao 5 dá 0

SEGUNDO ELEMENTO: -5 x 4 dá -20 e somado ao -19

TECRIERO ELEMENTO: -5 x 7 dá -35 e somado ao -1 dá -36

QUARTO ELEMENTO: -5 x 2 dá -10 somado ao 8 dá -2

Então ficou:

[tex]\begin{bmatrix}1&4&7&2\\ 0&-5&-8&-2\\0&-19&-36&-2\end{bmatrix}[/tex]

Acabou o objetivo que era zerar os valores abaixo do pivô. Agora na segunda linha. Qual o primeiro elemento não nulo? é o 5, ele é pivô. Então abaixo dele tens que fazer aparecer um zero. Vai ter que usar ele pra zerar o -19. O problema é que 5 e -19 não são multiplos. O ideal é o que o pivô seja 1. ENTÃO ANTES VAMOS PEGAR A SEGUNDA LINHA E MULTIPLICAR POR -1/5 que é o mesmo que DIVIDIR POR -5.

Primeiro elemento:  0 dividido por -5 dá 0

Segundo elemento: -5 dividido por -5 dá 1

Terceiro elemento: -8 dividido por -5 dá 8/5 (porque -com- na divisão dá +)

Quarto elemento: -2 dividido por -5 dá 2/5

Escreve assim:

[tex]\begin{bmatrix}1&4&7&2\\ 0&-5&-8&-2\\0&-19&-36&-2\end{bmatrix}\underrightarrow{L_2 \leftarrow -\dfrac{1}{5}L_2 }\begin{bmatrix}1&4&7&2\\ 0&1&\frac{8}{5}& \frac{2}{5}\\0&-19&-36&-2\end{bmatrix}[/tex]

Agora temos condições de zerar o -19 usando nosso pivô. Concorda que se no lugar do 1 tivesse um +19 dai soma-se nosso -19 com esse +19 daria zero? Então é isso. Vamos trocar os elementos da terceira linha.

Escreve assim:  

[tex]\underrightarrow{L_3 \leftarrow 19L_2 +L_3 }[/tex]

Faz essa operação para todos elementos da 3º linha. Dai fica:

[tex]\begin{bmatrix}1&4&7&2\\\\ 0&1&\frac{8}{5}& \frac{2}{5}\\\\0&0&( \frac{152}{5}-36)&( \frac{38}{5}-2)\end{bmatrix}[/tex]

Dai tenque fazer estas frações.

[tex]( \frac{152}{5}-36)[/tex] é o mesmo que [tex]( \frac{152}{5}- \frac{36}{1})[/tex] então fica: [tex]\frac{152-180}{5}[/tex] então [tex]\frac{-28}{5}[/tex]

[tex]( \frac{38}{5}-2)[/tex] é o mesmo que [tex]( \frac{38}{5}- \frac{2}{1})[/tex] então fica: [tex]\frac{38-10}{5}[/tex] então [tex]\frac{28}{5}[/tex]

Portanto a matriz fica:

[tex]\begin{bmatrix}1&4&7&2\\ \\0&1&\frac{8}{5}& \frac{2}{5}\\\\0&0& \frac{-28}{5}& \frac{28}{5}\end{bmatrix}[/tex]

O objetivo foi cumprido. Abaixo do pivô tem zero.  Agora na terceira linha, qual o primeiro elemento não nulo(que não é zero)? É o -28/5 certto?  Ele é seu pivô agora.  

PRONTO . JÁ ESTÁ ESCALONADO. Geralmente o que se faz é deixar os pivôs como 1 né, mas se não quiser não há necessidade.  Agora a gente  retorna para o sistema. Lembrando que esses números que aparecem são OS COEFICIENTES das variaveis x y z.

[tex]\begin{cases}1x+4y+7z=2 \\ 0x+1y+ \frac{8}{5}z=\frac{2}{5}\\0x+0y-\frac{28}{5}z=\frac{28}{5}\end{cases}[/tex]

Aqueles que aparecem o ZERO na frente quer dizer que são nulos. Nem precisa aparecer.

[tex]\begin{cases}1x+4y+7z=2 \\ \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:1y+ \frac{8}{5}z=\frac{2}{5}\\ \:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \:\:\:\:\:-\frac{28}{5}z=\frac{28}{5}\end{cases}[/tex]

Na ultima equação temos que: [tex]-\dfrac{28}{5}z=\dfrac{28}{5}[/tex]. Isole o z para achá-lo. Aquele número -28/5 que está multiplicando, devemos passar com a operação inversa, ele vai dividindo:

[tex]z=\dfrac{\dfrac{28}{5} }{\dfrac{-28}{5} }[/tex]

Algo dividido por si mesmo só que com sinal inverso sempre dá - 1 portanto:

[tex]z = -1[/tex]

Achamos o valor do z. Agora basta substituir -1no lugar de z na segunda equação que acharemos o y.

[tex]1y+ \frac{8}{5}z=\frac{2}{5}[/tex]

[tex]1y+ \frac{8}{5} \cdot (-1)=\frac{2}{5}[/tex]

[tex]1y- \frac{8}{5}=\frac{2}{5}[/tex]

Isola o y. Então passe esse 8/5 para o outro lado como -8/5

[tex]1y=\frac{2}{5} +\frac{8}{5}[/tex]

[tex]1y=\frac{2+8}{5}[/tex]

[tex]1y=\frac{10}{5}[/tex]

Ou apenas:

[tex]y =2[/tex]

Achamos o valor do y. Substitui 2 no y e -1 no z na primeira equação do sistema para descobrir o valor do x.

[tex]1x+4y+7z=2[/tex]

[tex]1x+4.(2)+7.(-1) = 2[/tex]

[tex]1x+10-7 = 2[/tex]

[tex]1x+3=2[/tex]

[tex]x=2-3[/tex]

[tex]x=-1[/tex]

Como x = -1, y = 2 e z = -1 escrevemos que a soluação do sistema dado é a terna ordenada (-1,2,-1). Dai coloca-se:

[tex]S = {\e\{(-1,2,-1) {\e\}[/tex]

ESSA Á RESPOSTA.

Como a resposta deu números exatos para x y z isso quer indicar que o sistema é possível e determinado(aquele que tem apenas uma solução). É chamado de SPD.