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GugaLincon
@GugaLincon
January 2020
2
49
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Demonstre que em todo triângulo ABC, de perímetro igual a 2p, vale a relação: sen A + sen B + sen C = p/R, onde R é o circunraio.
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hcsmalves
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Sabemos que em todo triângulo de lados a, b, e c de ângulos A, B e C e raio R da circunferência circunscrita ao triângulo, tem-se:
Em toda proporção a soma dos antecedentes está para soma dos consequentes, assim como qualquer antecedente está para seu consequente.
Mas a + b + c = 2p ;( dado no problema)
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albertrieben
Boa noite Guga
a/sen(A) = b/sen(B) = c/sen(C) = 2R
(a + b + c)/(sen(A) + sen(B) + sen(C)) = 2R
2p/(sen(A) + sen(B) + sen(C)) = 2R
(sen(A) + sen(B) + sen(C)) = 2p/2R = p/R
demonstração
seja um triângulo ABC inscrito de raio r.
A partir do ponto B pode-se encontrar um ponto diametralmente oposto D, e, ligando D a C, formamos um novo triângulo BCD retângulo em C.
como BC é uma corda dos triângulos ABC e BCD temos
angulo A = D
sen(D) = a/2R = sen(A)
logo
a/sen(A) = 2R
de mesmo modo
b/sen(B) = 2R
c/sen(C) = 2R
assim
a/sen(A) = b/sen(B) = c/sen(C) = 2R
e
sen(A) + sen(B) + sen(C) = p/R
.
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Sabemos que em todo triângulo de lados a, b, e c de ângulos A, B e C e raio R da circunferência circunscrita ao triângulo, tem-se:Em toda proporção a soma dos antecedentes está para soma dos consequentes, assim como qualquer antecedente está para seu consequente.
Mas a + b + c = 2p ;( dado no problema)
a/sen(A) = b/sen(B) = c/sen(C) = 2R
(a + b + c)/(sen(A) + sen(B) + sen(C)) = 2R
2p/(sen(A) + sen(B) + sen(C)) = 2R
(sen(A) + sen(B) + sen(C)) = 2p/2R = p/R
demonstração
seja um triângulo ABC inscrito de raio r.
A partir do ponto B pode-se encontrar um ponto diametralmente oposto D, e, ligando D a C, formamos um novo triângulo BCD retângulo em C.
como BC é uma corda dos triângulos ABC e BCD temos
angulo A = D
sen(D) = a/2R = sen(A)
logo
a/sen(A) = 2R
de mesmo modo
b/sen(B) = 2R
c/sen(C) = 2R
assim
a/sen(A) = b/sen(B) = c/sen(C) = 2R
e
sen(A) + sen(B) + sen(C) = p/R
.