[tex]A = \int_{a}^{b}F(x) dx=\int_{ \alpha }^{ \beta }h(t)g'(t) dt \\ [/tex]

Ou seja, basta substituir as funções g'(t) e h(t) e os limites de integração fornecidos.

[tex]g(t) = t {}^{2} \: \to \: \frac{dg(t)}{dt} = 2t \\ [/tex]

[tex]A= \int_{1}^{2}(t + 1).(2t) \: dt \\ \\ A= \int_{1}^{2}2t {}^{2} + 2t \: dt \\ \\ A= \left( \frac{2t {}^{3} }{3} + t {}^{2} \right)_{1}^{2} \\ \\ A= \frac{2.2 {}^{3} }{3} + 2 {}^{2} - \frac{2.1 {}^{3} }{3} - 1 {}^{2} \\ \\ A= \frac{16}{3} + 4 - \frac{2}{3} - 1 \\ \\ A= \frac{14}{3} + 3 \\ \\ \boxed{ A= \frac{23}{3}} [/tex]