Resposta:

Vamos resolver cada questão passo a passo:

1. Dada a matriz A:

A =

[ 2 3 ]

[ 3 4 ]

[ 0 2 3 ]

Observação: Uma matriz A é simétrica se A = A^T (transposta de A).

Para verificar se A é simétrica, vamos comparar A com sua transposta A^T:

A^T =

[ 2 3 0 ]

[ 3 4 2 ]

Como A ≠ A^T, podemos concluir que A não é simétrica.

2. Dada a matriz A:

A =

[ 1 4 ]

[ -5 3 ]

Sabemos que A é simétrica. Portanto, a matriz B deve ser igual a A.

3. a) Para encontrar a matriz X, tal que 2X + A - B = 0, vamos substituir os valores de A e B na equação:

2X + A - B = 0

2X + A - A = 0

2X = 0

X = 0

Portanto, a matriz X é a matriz nula, em que todos os elementos são zero.

b) Para calcular B^2, vamos multiplicar a matriz B por ela mesma:

B = A =

[ 1 4 ]

[ -5 3 ]

B^2 = A^2 =

[ 1 4 ]

[ -5 3 ]

*

[ 1 4 ]

[ -5 3 ]

Multiplicando as matrizes, temos:

B^2 =

[ -19 16 ]

[ -17 8 ]

Portanto, B^2 =

[ -19 16 ]

[ -17 8 ]

c) Para calcular C^2, precisamos ter a matriz C. Porém, a matriz C não foi fornecida na questão.

4. Dadas as matrizes M e N:

M =

[ 4 -2 0 ]

[ 9 9 0 ]

N =

[ -5 1 ]

[ 2 4 ]

[ 10 0 ]

a) Para calcular o determinante de M (det M), vamos usar a regra de Sarrus ou calcular a determinante por cofatores:

det M = (4 * 9 * 0) + (-2 * 9 * 10) + (0 * 9 * 2) - (0 * 9 * 0) - (-2 * 9 * 0) - (4 * 10 * 0)

= 0 + (-180) + 0 - 0 - 0 - 0

= -180

Portanto, det M = -180.

Para calcular o determinante de N (det N), podemos usar a mesma regra de Sarrus ou calcular por cofatores:

det N = (-5 * 4 * 0) + (1 * 2 * 10) - (0 * 2 * (-5)) - (0 * 4 * 1) - (1 * 4 * (-5)) - (0 * 2 * 10)

= 0 + 20 - 0 - 0 + 20 - 0

= 40

Portanto, det N = 40.

b) Para calcular 3a + b², substituímos os valores de a e b:

a = det M = -180

b = det N = 40

3a + b² = 3*(-180) + (40)²

= -540 + 1600

= 1060

Portanto, 3a + b² = 1060.

c) Para calcular det(MN), podemos utilizar a propriedade dada na observação:

det(MN) = det(M) * det(N)

= (-180) * (40)

= -7200

Portanto, det(MN) = -7200.

Espero que isso tenha ajudado!