Resposta:

Pelo o que eu tô vendo aqui é a letra A )42 m

 Uma função do segundo grau sempre tem um ponto de máximo ou mínimo (que será justamente o vértice da parábola), por sua característica de crescer e depois decrescer, ou ainda decrescer e crescer, devido ao termo elevado ao quadrado.

 Se o termo que multiplica o n² é maior do que 0, obviamente em um ponto quando formos aumentando muito n (ou diminuindo, já que estamos elevando ao quadrado e o termo final será positivo), claramente a função vai ter um ponto mínimo e crescer nas suas bordas.

 Já se o termo for menor do que 0, vai acontecer justamente o contrário, você vai estar multiplicando um número cada vez maior por um número negativo, então o resultado final será um número negativo cada vez menor, então nesse caso teremos um ponto máximo.

 Como nosso termo que multiplica o n² é menor que 0, teremos um ponto máximo. Mas agora que sabemos disso, como calculamos esse ponto? Se você notar, pela simetria da função quadrática, o x desse ponto máximo estará justamente no ponto médio entre as duas raízes, e na imagem 1 você pode ver essa simetria.

 Se conseguirmos calcular o n do ponto máximo poderemos simplesmente calcular h(n) e descobrir qual que é essa altura relativa ao comprimento n do fio.

 Se pegarmos a fórmula de Bhaskara e calcularmos o ponto médio entre essas raízes chegaremos ao seguinte resultado:

[tex]a\cdot n^{2}+b\cdot n+c\cdot=0\\\\\\\\n'=\dfrac{-b +\sqrt{\Delta}}{2\cdot a}\\\\n''=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2\cdot a}\\\\\\\\x_{v}=\dfrac{\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2\cdot a}+\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2\cdot a}}{2\cdot a}}\\\\x_{v}=\dfrac{-b-b+\sqrt{\Delta}-\sqrt{\Delta}}{2\cdot a}}\cdot\dfrac{1}{2\cdot a}\\\\x_{v}=\dfrac{-2\cdot b}{4\cdot a}\\\\x_{v}=-\dfrac{b}{2\cdot a}[/tex]

 Por fim vamos analisar nossa função e calcular as coordenadas do vértice dessa parábola:

[tex]h(x)=-n^{2}-12\cdot n+30\\\\a=-1\\b=-12\\c=30\\\\x_{v}=-\dfrac{b}{2\cdot a}\\x_{v}=-\dfrac{-12}{2\cdot(-1)}\\x_{v}=-6\\\\h(x_{v})=-(x_{v})^{2}-12\cdot(x_{v})+30\\h(-6)=-(-6)^{2}-12\cdot(-6)+30\\h(-6)=-36+72+30\\h(-6)=102-36\\h(-6)=66[/tex]

 Logo, a altura máxima é de 66m.

 Essa questão não faz muito sentido, já que para a altura máxima precisaríamos de um comprimento negativo, mas acredito que o intuíto dela seja você calcular o ponto máximo de uma função do segundo grau. E mesmo que você vá calcular o ponto máximo onde o comprimento não seja negativo, esse ponto vai ser o 0, ou um número muito próximo de 0, o que também não faria muito sentido...

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