Ricardo está fazendo um experimento que consiste em obter a distância máxima, em metros, que uma esfera alcança sobre uma rampa de acordo com sua inclinação que pode ser ajustada em ângulos entre 0° e 45°. Essa esfera sempre parte do mesmo ponto P e é sempre empregado, nessa esfera, um mesmo impulso independentemente da inclinação dessa rampa. Observe, na figura abaixo, um esboço feito dessa rampa ajustada em um dos ângulos que Ricardo utilizou ao fazer esse experimento. M121330H6 Dados:sen 30°=12 sen 45°=2–√2 sen 60°=3–√2cos 30°=3–√2 cos 45°=2–√2 cos 60°=12 Ricardo observou que a função f fdada por f(x)=4cos(x), determina a distância máxima que a esfera alcança, em metros, em função do ângulo x de inclinação dessa rampa em relação ao solo. De acordo com a observação feita por Ricardo, qual foi a distância máxima, em metros, alcançada por essa esfera quando a rampa estava com uma inclinação igual à do esboço apresentado na figura? 6–√+2–√. 2+3–√. 3–√. 6–√−2–√. 0,5.
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Resposta:
Alternativa a, √6 + √2.
Explicação passo a passo:
Veja, pela figura, que o ângulo usado foi de 15º. Como a função que determina a distância percorrida pela bola é [tex]f(x)=4cos(x)[/tex], sabendo que nosso 'X' é 15º, temos a função: [tex]f(15^{\circ})=4cos(15^{\circ})[/tex].
Porém, na tabela com os valores dos arcos, disponibilizada pelo enunciado, não temos as informações para o cosseno de 15º.
Para responder essa questão, vamos utilizar a diferença entre cossenos de dois arcos, que é a seguinte:
[tex]cos(\alpha-\beta)=cos\alpha*cos\beta+sen\alpha*sen\beta[/tex]
Onde [tex]\alpha[/tex] e [tex]\beta[/tex] são os dois ângulos relacionados.
Veja que 45º - 30º = 15º, então o cosseno de 15º é o mesmo que o cosseno de (45º - 30º). Vamos fazer essa troca pois os valores dos senos e cossenos de 45º e 30º estão informados na tabela do enunciado.
Vamos substituir essas informações na fórmula de diferença entre cossenos, onde [tex]\alpha[/tex] será 45º e [tex]\beta[/tex] será 30º:
[tex]cos(\alpha-\beta)=cos\alpha*cos\beta+sen\alpha*sen\beta\\\\cos(45^{\circ}-30^{\circ})=cos45^{\circ}*cos30^{\circ}+sen45^{\circ}*sen30^{\circ}[/tex]
Usando os dados disponíveis na tabela do enunciado:
[tex]cos(45^{\circ}-30^{\circ})=cos45^{\circ}*cos30^{\circ}+sen45^{\circ}*sen30^{\circ}\\\\cos(15^{\circ})=\frac{\sqrt{2} }{2}*\frac{\sqrt{3} }{2}+\frac{\sqrt{2} }{2}*\frac{1}{2} \\ \\ cos(15^{\circ})=\frac{\sqrt{6} }{4}+\frac{\sqrt{2} }{4} \\\\cos(15^{\circ})=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2} }{4}[/tex]
Agora que temos o valor do cosseno de 15º, vamos finalmente substituí-lo na função que determina a distância percorrida pela bola, que foi dada no início:
[tex]f(15^{\circ})=4cos(15^{\circ})\\\\f(15^{\circ})=4*\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2} }{4} \\\\f(15^{\circ})=\frac{4(\sqrt{6}+\sqrt{2} )}{4} \\\\f(15^{\circ})=\sqrt{6}+\sqrt{2}[/tex]
Portanto, a distância máxima percorrida pela bola quando o ângulo é de 15º, dada pela função [tex]f(x)=4cos(x)[/tex], é √6 + √2, que está na alternativa a.
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