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Resposta:

Seja a função quadrática [tex]f(x)[/tex] assim definida:

[tex]f(x) = 2x^2 + 4x - 10.[/tex]

Calculemos seu discriminante:

Δ = [tex]4^2 - 4(2)(-10) = 16 + 80 = \boxed{96.}[/tex]

Tomemos agora a função [tex]g(x)[/tex] assim definida:

[tex]g(x) = \frac{f(x)}{2} = \frac{2(x^2+2x-5)}{2} = x^2 + 2x - 5.[/tex]

Calculemos seu discriminante:

Δ = [tex]2^2 - 4(1)(-5) = 4 + 20 = \boxed{24.}[/tex]

Por que os discriminantes não são idênticos?

Perceba que [tex]f(x)[/tex] e [tex]g(x)[/tex] são funções quadráticas distintas. Com efeito, os coeficientes de [tex]g(x)[/tex] são a metade dos coeficientes [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] e [tex]c[/tex] de [tex]f(x)[/tex]. Assim, temos para [tex]g(x)[/tex]:

Δ = [tex](\frac{b}{2})^2 - 4(\frac{a}{2})(\frac{c}{2}) = \frac{b^2}{4} - \frac{4ac}{4} = \frac{b^2-4ac}{4}.[/tex]

Isto significa que o discriminante da função [tex]g(x)[/tex] é [tex]\frac{1}{4}[/tex] do discriminante de [tex]f(x)[/tex], como já havíamos percebido ao calculá-los.

Obs.: Como dito anteriormente, as funções [tex]f(x)[/tex] e [tex]g(x)[/tex] são distintas. No entanto, elas têm raízes idênticas, pois:

[tex]f(x) = 2(x-x_1)(x-x_2)[/tex]

e

[tex]g(x) = \frac{f(x)}{2} = \frac{2(x-x_1)(x-x_2)}{2} = (x-x_1)(x-x_2).[/tex]

Ou seja, a equação [tex]f(x) = 0[/tex] é equivalente à equação [tex]g(x) = 0.[/tex]

Para todos os valores de [tex]x[/tex] ∈ ℝ diferentes de [tex]x_1[/tex] e de [tex]x_2[/tex], no entanto, [tex]f(x) \neq g(x)[/tex].