Seja , em que a, b e c são números reais. A imagem de f é a semireta ]-1,+∞[. Quanto vale a?.... Pergunta de ideia deVestibulanda

April 2020 1 131 Report

Seja $f(x)=a+2^{bx+c}$ , em que a, b e c são números reais. A imagem de f é a semireta ]-1,+∞[. Quanto vale a?

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Substituindo o ponto (1, 0) na função temos:

$f(x)=a+2^{bx+c}\Rightarrow f(1)=a+2^{b+c}\Rightarrow \boxed{a+2^{b+c}=0}$

O ponto (0, -3/4):

$f(x)=a+2^{bx+c}\Rightarrow f(0)=a+2^c\Rightarrow \boxed{a+2^c=-\frac{3}{4}}$

Daí o sistema: $\begin{cases}a+2^{b+c}=0\\a+2^c=-\frac{3}{4}\end{cases}$

Resolvendo-o,

$\begin{cases}a+2^{b+c}=0\\a+2^c=-\frac{3}{4}\;\;\times(-1\end{cases}\\\\\begin{cases}a+2^{b+c}=0\\-a-2^c=+\frac{3}{4}\end{cases}\\---------\\2^{b+c}-2^c=\frac{3}{4}\\\\2^b\cdot2^c-2^c=\frac{3}{4}$

$2^c(2^b-1)=\frac{3}{4}\\\\2^2\cdot2^c(2^b-1)=3\\\\2^{c+2}(2^b-1)=1\cdot3$

$2^{c+2}$ ou é par, ou, vale 1;
$2^b-1$ ou é ímpar, ou, negativo;

Portanto,

$\begin{cases}2^{c+2}=1\Rightarrow2^{c+2}=2^0\Rightarrow c+2=0\Rightarrow\boxed{c=-2}\\2^b-1=3\Rightarrow2^b=4\Rightarrow2^b=2^2\Rightarrow\boxed{b=2}\end{cases}$

Por fim, substituindo os valores obtidos numa das equações do sistema...

$a+2^{b+c}=0\\\\a+2^{2-2}=0\\\\a+2^0=0\\\\a+1=0\\\\\boxed{\boxed{a=-1}}$

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vestibulanda Não entendi porque 2^{c+2} ou é par, ou vale -1... E nem pq 2^{b}-1 é impar ou negativo...

vestibulanda Ok...

vestibulanda Entendi!! Só que acho que nunca pensaria em fazer isso porque aprendi que os fatores(com incógnitas dentro) de uma multiplicação só podem ser igualados ao outro lado da equação quando o mesmo for zero.

vestibulanda Mas função exponencial não deixa de ser álgebra também. Fez bastante sentido, sim.