Sejam f colon space A rightwards arrow straight real numbers comma space A subset of straight real numbers e p um ponto de acumulação de A. Então stack lim space f left parenthesis x right parenthesis equals L with x rightwards arrow p below existe se, e somente se, para toda sequência open parentheses x subscript n close parentheses em A, convergindo para p e tal que x subscript n not equal to p para todo n element of straight natural numbers, tivermos que a sequência open parentheses f open parentheses x subscript n close parentheses close parentheses converge para L.



(CORRÊA, Francisco Júlio Sobreira de Araújo. Introdução à Análise Real. Belém: UFPA. 246 p. Disponível em: . Acesso em: 22 jan. 2019.)



Considere a função f colon space straight real numbers rightwards arrow straight real numbers definida por:

f left parenthesis x right parenthesis equals open curly brackets table row cell 0 comma space s e space x less than 0 semicolon end cell row cell 2 comma space s e space x equals 0 semicolon end cell row cell 1 comma space s e space x greater than 0. end cell end table close

O limite de f left parenthesis x right parenthesis quando x tende a zero está corretamente indicado em

Alternativas:

a)
there exists stack space lim space f left parenthesis x right parenthesis with x rightwards arrow 0 below e stack space lim space f left parenthesis x right parenthesis with x rightwards arrow 0 below equals 0.

Alternativa assinalada
b)
there exists stack space lim space f left parenthesis x right parenthesis with x rightwards arrow 0 below e stack space lim space f left parenthesis x right parenthesis with x rightwards arrow 0 below equals 1.

c)
there exists stack space lim space f left parenthesis x right parenthesis with x rightwards arrow 0 below e stack space lim space f left parenthesis x right parenthesis with x rightwards arrow 0 below equals 2.

d)
there exists stack space lim space f left parenthesis x right parenthesis with x rightwards arrow 0 below e stack space lim space f left parenthesis x right parenthesis with x rightwards arrow 0 below equals plus infinity.

e)
there does not exist stack space lim space f left parenthesis x right parenthesis with x rightwards arrow 0 below.

2)
Um importante resultado que tem uma visualização geométrica muito evidente afirma que o gráfico de uma função, ao passar de um lado a outro do eixo dos x necessariamente tem de cortar esse eixo. Por um bom tempo, até o final do século XVIII, esse resultado foi aceito sem que ninguém pensasse em demonstrá-lo. Aliás, a tentativa de Bolzano em demonstrá-lo foi um dos principais marcos do início do rigor na Análise no começo do século XIX.



(ÁVILA, Geraldo. Análise Matemática para Licenciatura. São Paulo: Edgard Blücher, 2001.)





Seja f uma função contínua num intervalo I equals open square brackets a comma b close square brackets, com f left parenthesis a right parenthesis not equal to f left parenthesis b right parenthesis. Então, dado qualquer número d compreendido entre f left parenthesis a right parenthesis e f left parenthesis b right parenthesis, existe c element of open parentheses a comma b close parentheses tal que f left parenthesis c right parenthesis equals d. Em outras palavras, f left parenthesis x right parenthesis assume todos os valores compreendidos entre f left parenthesis a right parenthesis e f left parenthesis b right parenthesis, com x variando em open parentheses a comma b close parentheses.

Esse resultado é conhecido como o

Alternativas:

a)
critério de convergência de Cauchy.

b)
teorema de Bolzano-Weierstrass.

c)
teorema da permanência do sinal.

d)
teorema dos intervalos encaixados.

Alternativa assinalada
e)
teorema do valor intermediário.