Sejam f colon space A rightwards arrow straight real numbers comma space A subset of straight real numbers e p um ponto de acumulação de A. Então stack lim space f left parenthesis x right parenthesis equals L with x rightwards arrow p below existe se, e somente se, para toda sequência open parentheses x subscript n close parentheses em A, convergindo para p e tal que x subscript n not equal to p para todo n element of straight natural numbers, tivermos que a sequência open parentheses f open parentheses x subscript n close parentheses close parentheses converge para L. (CORRÊA, Francisco Júlio Sobreira de Araújo. Introdução à Análise Real. Belém: UFPA. 246 p. Disponível em: . Acesso em: 22 jan. 2019.) Considere a função f colon space straight real numbers rightwards arrow straight real numbers definida por: f left parenthesis x right parenthesis equals open curly brackets table row cell 0 comma space s e space x less than 0 semicolon end cell row cell 2 comma space s e space x equals 0 semicolon end cell row cell 1 comma space s e space x greater than 0. end cell end table close O limite de f left parenthesis x right parenthesis quando x tende a zero está corretamente indicado em Alternativas: a) there exists stack space lim space f left parenthesis x right parenthesis with x rightwards arrow 0 below e stack space lim space f left parenthesis x right parenthesis with x rightwards arrow 0 below equals 0. Alternativa assinalada b) there exists stack space lim space f left parenthesis x right parenthesis with x rightwards arrow 0 below e stack space lim space f left parenthesis x right parenthesis with x rightwards arrow 0 below equals 1. c) there exists stack space lim space f left parenthesis x right parenthesis with x rightwards arrow 0 below e stack space lim space f left parenthesis x right parenthesis with x rightwards arrow 0 below equals 2. d) there exists stack space lim space f left parenthesis x right parenthesis with x rightwards arrow 0 below e stack space lim space f left parenthesis x right parenthesis with x rightwards arrow 0 below equals plus infinity. e) there does not exist stack space lim space f left parenthesis x right parenthesis with x rightwards arrow 0 below. 2) Um importante resultado que tem uma visualização geométrica muito evidente afirma que o gráfico de uma função, ao passar de um lado a outro do eixo dos x necessariamente tem de cortar esse eixo. Por um bom tempo, até o final do século XVIII, esse resultado foi aceito sem que ninguém pensasse em demonstrá-lo. Aliás, a tentativa de Bolzano em demonstrá-lo foi um dos principais marcos do início do rigor na Análise no começo do século XIX. (ÁVILA, Geraldo. Análise Matemática para Licenciatura. São Paulo: Edgard Blücher, 2001.) Seja f uma função contínua num intervalo I equals open square brackets a comma b close square brackets, com f left parenthesis a right parenthesis not equal to f left parenthesis b right parenthesis. Então, dado qualquer número d compreendido entre f left parenthesis a right parenthesis e f left parenthesis b right parenthesis, existe c element of open parentheses a comma b close parentheses tal que f left parenthesis c right parenthesis equals d. Em outras palavras, f left parenthesis x right parenthesis assume todos os valores compreendidos entre f left parenthesis a right parenthesis e f left parenthesis b right parenthesis, com x variando em open parentheses a comma b close parentheses. Esse resultado é conhecido como o Alternativas: a) critério de convergência de Cauchy. b) teorema de Bolzano-Weierstrass. c) teorema da permanência do sinal. d) teorema dos intervalos encaixados. Alternativa assinalada e) teorema do valor intermediário.
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3) O estudo da continuidade de uma função está fortemente vinculado com o estudo de limites, pois quando se quer saber se uma função é contínua deve-se analisar também a existência do limite. Grosseiramente, pode-se afirmar que uma função é continua quando conseguimos desenhar seu gráfico completo sem tirar o lápis do papel, ou seja, de maneira ininterrupta. Ou ainda, quando o gráfico da função não possui quebras ou saltos em todo seu domínio. (DICAS de Cálculo: continuidade de uma função. 2019. Disponível em: . Acesso em: 25 jan. 2019.) Em relação à continuidade de funções, analise as seguintes afirmações: I. Se a função já está definida em a e seu valor nesse ponto coincide com seu limite, então, a função é contínua nesse ponto. II. Simbolicamente, dizer que f colon D rightwards arrow straight real numbers é contínua em a element of D significa dizer que for all epsilon greater than 0 comma space there exists space delta greater than 0 semicolon space for all x element of D semicolon space open vertical bar x minus a close vertical bar less than delta rightwards double arrow open vertical bar f open parentheses x close parentheses minus f open parentheses a close parentheses close vertical bar greater than epsilon. III. Dizemos que f colon D rightwards arrow straight real numbers é contínua, quando ela é contínua em todos os pontos de D. IV. Dizer que f colon D rightwards arrow straight real numbers não é contínua em a element of D significa dizer que existe epsilon greater than 0, tal que, para qualquer delta greater than 0, podemos sempre encontrar x subscript delta element of D, tal que open vertical bar x subscript delta minus a close vertical bar less than delta space straight e space open vertical bar f open parentheses x subscript delta close parentheses minus L close vertical bar greater or equal than epsilon, onde x subscript delta equals left parenthesis x minus delta comma space x plus delta right parenthesis intervalo aberto em x. Considerando o contexto apresentado, é correto o que se afirma em Alternativas: a) II e III, apenas. Alternativa assinalada b) I, II e III, apenas. c) I, II e IV, apenas. d) I, III e IV, apenas. e) II, III e IV, apenas.
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