May 2023 0 5 Report
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On note h la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 3] par h(x) = 2x³ + x - 30. 1. Démontrer que h est strictement croissante sur l'intervalle [0; 3]. 2. On admet que l'équation h(x) = 0 a une unique solution x dans [0 ; 3]. a. Par lecture graphique, encadrer x₁ entre deux nombres entiers consécutifs. b. Dresser le tableau de signes de h sur [0 ; 3]. 3. On considère l'algorithme suivant. 1 a←0 2 Pour k allant de 0 à 2 inclus 3 Tant que 2a³+ a-30<0 4 a+a+10**-k 5 Fin tant que 6 a←a-10**-k 7 Fin Pour a. Quelle est la valeur de la variable a en fin d'exé- cution ? b. En déduire un encadrement de x₁ au centième. 4. Écrire un programme en Python donnant un enca- drement de x₁ au millionième. Quel est cet encadrement ?
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Un apiculteur produit du miel qu'il vend au marché. L'expérience lui a montré que si x est le prix de vente d'un kilogramme de miel, pour x nombre réel de l'intervalle [1; 40], le nombre d'acheteurs vaut n(x) = 200 – 5x. On suppose que chaque acheteur achète exactement un kilogramme de miel et que le coût de production d'un kilogramme de miel est de 8 €. 1. Pour x nombre réel tel que x E [1; 40] et un prix de vente à x euros le kg, montrer que le bénéfice, en euros, s'écrit b(x) = -5(x-24)2 + 1 280. 2. a. Démontrer que la fonction best strictement croissante sur l'intervalle [1; 24] et strictement décroissante sur l'intervalle [24; 40]. b. Pour quel prix au kg le bénéfice obtenu est-il maxi- mal ? c. Combien vaut ce bénéfice maximal ?
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Soient a et b deux nombres réels tels que a > b. Le problème consiste à comparer a³ et b³. 1. Supposons que a est positif et b est négatif. Comparer a³ et b³. 2. a. Démontrer que : a³-b³ = (a - b)(a² + ab + b²). b. Supposons que a > b>0. Étudier le signe de (a − b)(a² + ab + b²). Comparer alors a³ et b³. c. Supposons que 0 ≥a > b. Comparer comme précédemment a³ et b³. d. Conclure quant au problème posé. 3. Sans calcul, comparer les nombres : a. (27√2)³ et (42√2)³. b. (-2√5)³ et (-7√5)³
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