Soient a et b deux nombres réels tels que a > b.
Le problème consiste à comparer a³ et b³.
1. Supposons que a est positif et b est négatif.
Comparer a³ et b³.
2. a. Démontrer que :
a³-b³ = (a - b)(a² + ab + b²).
b. Supposons que a > b>0. Étudier le signe de
(a − b)(a² + ab + b²). Comparer alors a³ et b³.
c. Supposons que 0 ≥a > b. Comparer comme
précédemment a³ et b³.
d. Conclure quant au problème posé.
3. Sans calcul, comparer les nombres :
a. (27√2)³ et (42√2)³.
b. (-2√5)³ et (-7√5)³
Le problème consiste à comparer a³ et b³.
1. Supposons que a est positif et b est négatif.
Comparer a³ et b³.
2. a. Démontrer que :
a³-b³ = (a - b)(a² + ab + b²).
b. Supposons que a > b>0. Étudier le signe de
(a − b)(a² + ab + b²). Comparer alors a³ et b³.
c. Supposons que 0 ≥a > b. Comparer comme
précédemment a³ et b³.
d. Conclure quant au problème posé.
3. Sans calcul, comparer les nombres :
a. (27√2)³ et (42√2)³.
b. (-2√5)³ et (-7√5)³
Lista de comentários
Bonjour,
1)
a > 0 ==>a³ > 0
b < 0 ==>b³ < 0
Donc :
a > 0 et b < 0 ==>a³ > b³
2)
a)
(a-b)(a²+ab+b²)=a³+a²b+ab²-a²b-ab²-b³=a³-b³
b)
On a donc :
a > b > 0 qui donne :
(a-b) > 0
et : a²+ab+b² > 0 puisque tous les termes sont positifs.
Donc : (a − b)(a² + ab + b²) > 0.
Donc :
Pour a > b > 0 : a³-b³ > 0 soit a ³ > b³
c)
On a donc :
0 ≥ a > b qui donne :
(a-b) > 0
et :
a²+ab+b² qui est positif car :
a² > 0 ; b² > 0 car ce sont des carrés.
Et le produit "ab" est aussi positif car produit de 2 nbs négatifs.
La somme : a²+ab+b² est donc positive.
Donc : (a-b)(a²+ab+b²) > 0.
Donc :
Pour 0 ≥ a > b , a³-b³ > 0 soit a³ > b³
d)
Conclusion :
Pour tout a > b , on a :
a³ > b³
3)
a)
27√2 < 42√2 car 27 < 42 donc :
(27√2)³ < (42√2)³
b)
-2√5 > -7√5 car -2 > -7 donc :
(-2√5)³ > (-7√5)³
"Réciproquement, soient x et y deux entiers naturels et soit N= x²-y².
Montrer que N est soit un nombre impair, soit un multiple de 4 (on pourra étudier les différents cas selon la partie de x et de y).