Soit les polynômes suivants : 1) Trouver PGCD(A;B) => j'ai trouvé x+1 2) Trouver un couple (U;V) tel.... Pergunta de ideia deMichaelS

April 2019 1 200 Report

Soit les polynômes suivants :
$A=x^4-x^3-4x^2+2\\ B=x^2+2x+1$

1) Trouver PGCD(A;B) => j'ai trouvé x+1

2) Trouver un couple (U;V) tel que AU+BV = P => j'ai trouvé (1 ; -x² + 3x - 1)

3) Trouver tous les couples (U;V) vérifiant AU+BV = P => je bloque .. je pensais utilisé le théorème de Gauss mais pgcd (A;B)≠1 à moins que je me soit trompé ...

Lista de comentários

kvnmurty B = x² + 2x + 1 = (x+1)²

si x = -1, A = x⁴ -x³ - 4 x² + 2 = 1 + 1 - 4 + 2 = 0.
Donc, (x+1) est un facteur du "A".

A= (x+1) (x³ -2 x² -2 x + 2)
(x+1) n'est pas un facteur de (x³ - 2x² - 2x +2).

Donc, (x+1) le facteur commun pour A et B. PGCD(A;B) = (x+1)
===========================
2)
A * U + B * V = P
(x+1)(x³ -2 x² - 2x + 2)* U + (x+1)² * V = (x+1)
soit (x+1) ≠ 0, U (x³ - 2 x² - 2 x + 2) + (x + 1) V = 1

On peut choisir une expression polynomiale pour U de degre "n" en x , et une expression polynomial de degre (n+2) en x.

   soit U = a et V = p x² + q x + r (une couple le plus simple)
   (a+p ) x³ + (-2a+q+p ) x² + (-2a+r+q ) x + (2a+r ) = 1
   a + p = 0, r + 2a = 1,    -2a + p + q = 0, -2a + q + r = 0
   => p = -a, r = 1 - a, q = 3a , r = -a
   => a = 1, p = -1, q = 3 , r = -1

   U = 1 , V = -x² + 3 x - 1
================================
3)
calculer A/PGCD(A;B) = x³ -2x² -2x +2
et B/PGCD(A;B) = (x+1)

U_k = U + k * B/PGCD(A;B) et V_k = V - k * A/PGCD(A;B)
    pour k = un nombre entier (negatif ou positif ou 0)

Donc,
x+1 = (x⁴ - x³ -4x² +2) [1 + k * (x+1)] + (x+1)² [(-x²+3x-1) - k * (x³-2x²-2x+2) ]

verification:
diviser l'equation au dessus par (x+1)
   1 = (x³-2x²-2x+2) [ 1 + k * (x+1)] + (x+1)* [(-x²+3x-1) - k * (x³-2x²-2x+2)]
   = (x³-2x²-2x+2) [ 1 + k (x+1) - k (x+1) ] + (x+1) (-x²+3x-1)
   = 1
=====================
On peut trouver beaucoup des fonctions polynomiales U et V de degre n >= 0, qui satisfont l'equation : A U + B V = PGCD(A;B)

un exemple: U = a_0 + (a_0 - 1) x (degre du polynome = 1)
   et V = (1-a_0) x³ + (2 a_0-3) x² (1+2a_0) x + (1 -2 a_0)
   ou a_0 = un nombre reel.
============================
un autre exemple : le degre du U = 2
   U = (1-a_0+a_1) x² + a_1 x + a_0 , et
V =(a_0 -a_1-1) x⁴+(3-3 a_0+2 a_1) x³+(2a_1 -1)x²+(4a_0-2a_1-1)x +(1-2 a_0)

3 votes Thanks 1

MichaelS je te remercie pour ta réponse mais au final, quels sont tous les couples( U;V) ?

kvnmurty je ne sais pas si on peut trouve tous les couples par un formule single. U_k = 1 + k (x+1) ; V_k = (-x^2+3x-1) - k *(x^3-2x^2-2x+2)... ou k = un nombre entier - nous donne un nombre infini de solutions.

kvnmurty pour chaque couple U,V - on peut donner une formule comme au dessus.

MichaelS c'est la 1ère fois que je fais ça avec des polynômes ...quand je le fais avec des nombres j'obtiens des couples de la forme (2 + 2k ; 1+5k) J'étudierais ça plus attentivement demain. Merci ! PS : tu pourrais jeter un coup d'oeil sur mon autre devoir ? :)