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Por meio dos cálculos realizados, podemos chegar a conclusão de que esta subtração de frações [tex] \boxed{\bf x = -1}[/tex]

Um breve resumo das ferramentas que usaremos está neste "sumário".

• Resumo:

[tex]\begin{cases}{\bf1)}\: m\acute{e}todo\: da\:borboleta\\{\bf2)}\:distributiva\end{cases}[/tex]

Temos a seguinte equação:

[tex] \: \: \: \: \: \: \:\:\:\:\: \: \boxed{ \bf\frac{1}{ x - 1} = \frac{3}{x - 2} - \frac{2}{x - 3} }\\ [/tex]

Para resolver este tipo de equação, podemos utilizar uma técnica chamada de soma ou subtração através do método da borboleta, sendo este dado por:

[tex] \: \: \: \: \: \: \bullet \bf \: \: \: \: \: \frac{ \red a}{ \blue b} \pm \frac{ \blue c}{ \red d} = \frac{ \red a. \red d \pm \blue b. \blue c}{ \blue b . \red d} \\ [/tex]

• Ou seja, basta fazer uma multiplicação meio que cruzada dos números ou expressões que façam parte das relações.

Para fixar, vamos fazer um exemplo com números reais e inteiro, com o intuito de aprender a aplicar este método da maneira correta.

[tex] { \bf {ex}} : \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \: \to \: \begin{cases}a = 1 \\ b = 2 \end{cases} \: \begin{cases}c = 1 \\ d = 3 \end{cases} \\ \\ \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{1.3 + 2.1}{2.3} = \frac{3 + 2}{6} = \frac{5}{6} \\ [/tex]

Sabendo como aplicar este método, vamos partir para o cálculo da expressão fornecida.

[tex] \: \: \: \: \: \: \: \: \frac{1}{ x - 1} = \frac{3}{x - 2} - \frac{2}{x - 3} \\ [/tex]

Como no primeiro membro não temos soma ou subtração de frações, então vamos nos deter a aplicação do método da borboleta no segundo membro. Logo:

[tex]\frac{1}{ x - 1} = \frac{3}{x - 2} - \frac{2}{x - 3} \: \to\: \begin{cases}a = 3\\ b = x - 2 \end{cases} \: \begin{cases} c = 2 \\ b = x - 3\end{cases} \\ \\ \frac{1}{x - 1} = \frac{3.(x - 3) - 2.(x - 2)}{(x - 2).(x - 3)} [/tex]

Expandindo a expressão através da regra da distributiva, isto é:

[tex] \boxed{a\:.\:(b+c) = a.b+a.c}\\ ou \\ \boxed{(a+b)\:.\:(c+d)=a.c+a.d+b.c+b.d}[/tex]

• O termo que está fora multiplica os termos que estão dentro do parêntese.

[tex]\frac{1}{x - 1} = \frac{3x - 9 - 2x + 4}{(x - 2).(x - 3)} \: \to \: \frac{1}{x - 1} = \frac{x - 5}{(x - 2).(x - 3)} \\ \\ ( x - 2).(x - 3) = (x - 1).(x - 5)[/tex]

Expandindo mais uma vez:

[tex] \begin{cases}( x - 2).(x - 3) = (x - 1).(x - 5) \\ x.x - 3.x - 2.x + ( - 2).( - 3) = x.x - 5.x - 1.x + ( - 5).( - 1) \\ x {}^{2} - 3x - 2x + 6 = x {}^{2} - 5x - 1x + 5 \\ x {}^{2} - 5x + 6 = x {}^{2} - 6x + 5 \\ x {}^{2} - x {}^{2} - 5x + 6x = 5 - 6 \\ \boxed{x = - 1} \end{cases}[/tex]

Espero ter ajudado

Para mais exemplos, acesse:

https://brainly.com.br/tarefa/13286049

https://brainly.com.br/tarefa/36504275

Para resolver essa equação, devemos primeiro encontrar o denominador comum do lado direito da equação. Podemos fazer isso encontrando o mínimo múltiplo comum dos denominadores (x - 2) e (x - 3), que é (x - 2)(x - 3).

Agora, precisamos multiplicar cada termo no lado direito da equação pelo fator necessário para obter o denominador comum.

[tex]\begin{gathered} \:   \dfrac{1}{x \: - \: 1} \: = \: \dfrac{3}{x \: - \: 2} \: - \: \dfrac{2}{x \: - \: 3} \\ \Downarrow \\ \dfrac{1}{x \: - \: 1} \: = \: \dfrac{3(x \: - \: 3)}{(x \: - \: 2)(x \: - \: 3)} \: - \: \dfrac{2(x \: - \: 2)}{(x \: - \: 2)(x \: - \: 3)} \\ \Downarrow \\ \dfrac{1}{x \: - \: 1} \: = \: \dfrac{3x \: - \: 9}{(x \: - \: 2)(x \: - \: 3)} \: - \: \dfrac{2x \: - \: 4}{(x \: - \: 2)(x \: - \: 3)} \end{gathered}[/tex]

Agora, podemos combinar os termos do lado direito da equação:

[tex]\begin{gathered} \:   \dfrac{1}{x \: - \: 1} \: = \: \dfrac{(3x \: - \: 9) \: - \: (2x \: - \: 4)}{(x \: - \: 2)(x \: - \: 3)} \\ \Downarrow \\ \dfrac{1}{x \: - \: 1} \: = \: \dfrac{x \: - \: 5}{(x \: - \: 2)(x \: - \: 3)} \end{gathered}[/tex]

Agora, podemos simplificar ainda mais a equação, multiplicando ambos os lados por (x - 1):

[tex]\begin{gathered} \:  (x \: - \: 1) \: \cdot \: \dfrac{1}{x \: - \: 1} \: = \: (x \: - \: 1) \: \cdot \: \dfrac{x \: - \: 5}{(x \: - \: 2)(x \: - \: 3)} \\ \Downarrow \\ 1 \: = \: \dfrac{(x \: - \: 5)(x \: - \: 1)}{(x \: - \: 2)(x \: - \: 3)} \\ \Downarrow \\ (x \: - \: 2)(x \: - \: 3) \: = \: (x \: - \: 5)(x \: - \: 1) \\ \Downarrow \\ x^2 \: - \: 5x \: + \: 6 \: = \: x^2 \: - \: 6x \: + \: 5 \\ \Downarrow \\ x \: = \: \boxed{11} \end{gathered}[/tex]

Portanto, a solução da equação é x = 11.