Resposta:

[tex]x \equiv 75 \, (mod \, 204)[/tex]

Explicação passo a passo:

[tex]\left \{ {{x \equiv 15\, (mod \, 12)} \atop {x \equiv 7} \, (mod \, 17)} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{x \equiv 3\, (mod \, 12)} \atop {x \equiv 7} \, (mod \, 17)} \right.[/tex]

Usei o Teorema Chinês do Resto, ele diz que a solução desse sistema será

[tex]x=3.17.m_{17}+7.12.m_{12}[/tex]

Devo achar o [tex]m_{17}[/tex] e o [tex]m_{12}[/tex]. Conforme o teorema, temos:

[tex]17.m_{17} \equiv 1\, (mod \, 12) \implies m_{17}=5 \\ {12.m_{12} \equiv 1} \, (mod \, 17) \implies m_{12}=10[/tex]

Substituindo no x:

[tex]x=3.17.5+7.12.10=255+840=1095[/tex]

[tex]\implies x \equiv 1095 \, (mod \, 12.17) \Leftrightarrow x \equiv 1095 \, (mod \, 204) \therefore \boxed{x \equiv 75 \, (mod \, 204)}[/tex]

Primeiramente, deixemos as congruências no mesmo módulo. Como 17 e 12 são primos entre si, o MMC destes é diretamente [tex]17 \cdot 12 = 204[/tex]:

[tex]x \equiv 15 \pmod {12}\\17x \equiv 255 \pmod {204}\\\\x \equiv 7 \pmod {15}\\12x \equiv 84 \pmod {204}\\12x + 171 \equiv 255 \pmod {204}[/tex]

Logo:
[tex]17x \equiv 12x + 171\pmod {204}\\5x \equiv 171 \pmod {204}[/tex]

Em aritmética modular existe o conceito de classe inversa, que corresponde a um conjunto de números que, neste caso, quando multiplicados por 5, deixam resto 1, mod 204. É precisamente deste representante da classe inversa que precisamos para isolar o 5, já que o produto que consigamos pode ser simplificado para 1, portanto deixando-nos somente com 1x (essencialmente isolando x). Chamando de q este representante, temos que, como dito acima:
[tex]5q \equiv 1 \pmod {204}[/tex]

Ou também:
[tex]5q = 204k + 1[/tex]

Desse modo, tenho que encontrar um múltiplo de 204 que, quando somado a 1, resulte em um múltiplo de 5. Este caso é bem evidente, visto que diretamente [tex]204 + 1 = 205[/tex], que é múltiplo de 5. Logo:
[tex]5q = 204k + 1\\5q = 204 \cdot 1 + 1\\5q = 205\\q = 41[/tex]

Portanto o 41 é um representante da classe inversa de 5, mod 77. Continuando:

[tex]5x \equiv 171 \pmod {204}\\41(5x) \equiv 41 \cdot 171 \pmod {204}\\205x \equiv 7011 \pmod {204}\\204x + x \equiv 204 \cdot 34 + 75 \pmod {204}[/tex]

É uma propriedade das congruências que podemos somar ou subtrair produtos do módulo em qualquer lado da congruência, sem alterá-la. Portanto, subtraindo os produtos de 204, temos que:

[tex]x \equiv 75 \pmod {204}[/tex]