Resposta:   [tex]=\dfrac{(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})\cdot \sqrt{6}}{12}.[/tex]

Explicação passo a passo:

Para esta tarefa, vamos precisar de alguns produtos notáveis. Dados a, b reais, valem

• Produto da soma pela diferença entre dois termos:

   [tex](a-b)\cdot (a+b)=a^2-b^2.[/tex]

• Quadrado da soma de dois termos:

   [tex](a+b)^2=a^2+2ab+b^2.[/tex]

Tomemos a fração dada:

     [tex]\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}\\\\\\ =\dfrac{1}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{5}}\qquad\mathrm{(i)}[/tex]

Para racionalizar o denominador, multiplique o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, que é [tex](\sqrt{2}+\sqrt{3})+\sqrt{5},[/tex] e a expressão (i) fica

     [tex]=\dfrac{1\cdot ((\sqrt{2}+\sqrt{3})+\sqrt{5})}{((\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{5})\cdot ((\sqrt{2}+\sqrt{3})+\sqrt{5})}[/tex]

No denominador temos o produto de uma soma pela diferença entre dois termos (produtos notáveis). Expanda o produto no denominador:

     [tex]=\dfrac{(\sqrt{2}+\sqrt{3})+\sqrt{5}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2-(\sqrt{5})^2}\\\\\\ =\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2-5}\qquad\mathrm{(ii)}[/tex]

Expanda o quadrado da soma no denominador (produtos notáveis):

     [tex]=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}{((\sqrt{2})^2+2\cdot\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}+(\sqrt{3})^2)-5}\\\\\\ =\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}{(2+2\sqrt{2\cdot 3}+3)-5}\\\\\\ =\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}{(5+2\sqrt{6})-5}\\\\\\ =\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}{2\sqrt{6}}\qquad\mathrm{(iii)}[/tex]

Multiplique o numerador e o denominador por [tex]\sqrt{6}:[/tex]

     [tex]=\dfrac{(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})\cdot \sqrt{6}}{2\sqrt{6}\cdot \sqrt{6}}\\\\\\ =\dfrac{(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})\cdot \sqrt{6}}{2\cdot (\sqrt{6})^2}\\\\\\ =\dfrac{(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})\cdot \sqrt{6}}{2\cdot 6}\\\\\\ =\dfrac{(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})\cdot \sqrt{6}}{12}[/tex]

sendo esta a resposta.

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Bons estudos! :-)