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Resposta:     [tex]\sqrt[9]{1000^6}=100.[/tex]

Explicação passo a passo:

Esse resultado é consequência direta do fato de 18 ser igual a 3 · 6, mas também ser igual a 2 · 9. Observe:

Escreva 1000 como potência de 10:

     [tex]1000=10^3[/tex]

Eleve os dois lados à sexta potência, e obtemos

     [tex]\Longrightarrow\quad 1000^6=(10^3)^6[/tex]

Do lado direito, aplique uma das propriedades operatórias para potenciação:

•      [tex](a^m)^n=a^{m\,\cdot\,n}[/tex]

e multiplicando os expoentes do lado direito, a expressão fica

     [tex]\Longleftrightarrow\quad 1000^6=10^{3\,\cdot\, 6}\\\\ \Longleftrightarrow\quad 1000^6=10^{18}[/tex]

Observe que 18 também é um múltiplo de 9, e você pode escrevê-lo como sendo igual a 2 · 9:

     [tex]\Longleftrightarrow\quad 1000^6=10^{2\,\cdot\,9}[/tex]

Utilizando a mesma propriedade operatória da potenciação, podemos escrever

     [tex]\Longleftrightarrow\quad 1000^6=(10^2)^9\\\\ \Longleftrightarrow\quad 1000^6=100^9[/tex]

Então, segue que

     [tex]\Longleftrightarrow\quad \sqrt[9]{1000^6}=\sqrt[9]{100^9}\\\\ \Longleftrightarrow\quad \sqrt[9]{1000^6}=100[/tex]

sendo esta a resposta simplificada.

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Bons estudos! :-)