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Após a realização dos cálculos ✍️, podemos concluir mediante ao conhecimento de integral por partes que

[tex]\displaystyle\tt\int\theta^3\ln(\theta^2)d\theta=\dfrac{1}{4}\theta^4\bigg[\ln(\theta^2)-\dfrac{1}{2}\bigg]+k[/tex] ✅

Integral por partes

É uma das técnicas de integração que consiste em escrever uma integral que está no forma [tex]\tt u\,dv[/tex] na integral de [tex]\tt v\,du[/tex]. Em geral boas escolhas de u e de dv resultam na conversão da primeira integral que a primeira vista é mais desafiadora em outra que é de mais fácil tratamento. A fórmula da integração por partes é

[tex]\Large\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\tt\int u\,dv=u\cdot v-\int v\cdot du\end{array}}[/tex].

Demonstração

Sabemos da derivada do produto que [tex]\tt [f(x)\cdot g(x)]'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)~(I)[/tex]  portanto [tex]\displaystyle\tt\int [f(x)\cdot g(x)]'dx=f(x)\cdot g(x).(II)[/tex]

substituindo I em II temos:

[tex]\displaystyle\sf\int[f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)]dx=f(x)\cdot g(x)[/tex]

Sabemos que [tex]\displaystyle\tt\int [f(x)\pm g(x)]dx=\int f(x)dx\pm\int g(x)dx[/tex]

[tex]\displaystyle\tt\int f'(x)g(x)dx+\int f(x)g'(x)dx=f(x)\cdot g(x)\\\displaystyle\tt\int g(x)f'(x)dx+\int f(x)g'(x)dx=f(x)\cdot g(x)\\\displaystyle\tt\int f(x)\cdot g'(x)dx=f(x)\cdot g(x)-\int g(x)\cdot f'(x)dx (III)[/tex]

fazendo u=f(x) onde du=f'(x)dx e v=g(x) onde dv=g'(x)dx e substituindo em III temos:

[tex]\Large\begin{array}{l}\displaystyle\tt\int u\,dv=u\cdot v-\int v\,du~\blacksquare\end{array}[/tex]

há um acróstico que serve para fazermos uma boa escolha de u quando se trata de funções diferentes .

[tex]\tt I\longrightarrow[/tex]inversa trigonométrica

[tex]\tt L\longrightarrow[/tex]logaritmo

[tex]\tt A\longrightarrow[/tex] aritmética

[tex]\tt T\longrightarrow[/tex]trigonométrica

[tex]\tt E\longrightarrow[/tex]exponencial.

✍️Vamos a resolução do exercício

Aqui vamos usar o macete do ILATE para escolher u e tratar o restante do integrando como dv. Analisando atentamente percebe-se que temos uma função aritmética (que é [tex]\tt\theta^3[/tex] )e uma logaritmica que é [tex]\tt \ln(\theta^2)[/tex]. Pelo critério de escolha do u devemos escolher u como [tex]\tt\ln(\theta^2)[/tex] e tratar o restante do integrando como dv.

[tex]\Large\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\sf\int \theta^3\ln(\theta^2)d\theta\\\sf \underline{\sf Fa}c_{\!\!,}\underline{a}\\\rm u=\ln (\theta^2)\implies du=\dfrac{1}{\theta^2}\cdot 2\theta d\theta=\dfrac{2}{\theta}d\theta\\\\\rm dv=\theta^3d\theta\implies v=\dfrac{1}{4}\theta^4\end{array}}[/tex]

[tex]\Large\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\sf\int u\,dv=u\cdot v-\int v\,du\\\displaystyle\sf\int \theta^3\ln(\theta^2)d\theta=\ln(\theta^2)\cdot\dfrac{1}{4}\theta^4-\int\dfrac{1}{4}\theta^4\cdot\dfrac{2}{\theta}\,d\theta\\\\\displaystyle\sf\int \theta^3\ln(\theta^2)d\theta=\dfrac{1}{4}\theta^4\ln(\theta^2)-\dfrac{1}{4}\cdot2\cdot\int\theta^3d\theta\end{array}}[/tex]

[tex]\Large\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\sf\int \theta^3\ln(\theta^2)d\theta=\dfrac{1}{4}\theta^4\ln(\theta^2)-\dfrac{1}{\bigg/\!\!\!\!4_2}\cdot\bigg/\!\!\!\!2\cdot\dfrac{1}{4}\theta^4\\\\\displaystyle\sf\int\theta^3\ln(\theta^2)d\theta=\dfrac{1}{4}\theta^4 \bigg[\ln(\theta^2)-\dfrac{1}{2}\bigg]+k\end{array}}[/tex]

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