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Após a realização dos cálculos✍️, podemos concluir mediante ao conhecimento de integração por substituição trigonométrica que

[tex]\displaystyle\tt\int\dfrac{\sqrt{1-3x^2}}{x}\,dx=\ln\bigg|\dfrac{1-\sqrt{1-3x^2}}{\sqrt{3x}}\bigg|+\sqrt{1-3x^2}+k[/tex]

Integração por substituição trigonométrica

São integrais cujo integrando são da forma [tex]\tt\sqrt{a^2-x^2},\sqrt{a^2+x^2}\,ou\,\sqrt{x^2-a^2}[/tex] sendo a uma constante.

nota:

• Se o integrando for da forma [tex]\tt\sqrt{a^2-x^2}[/tex]  use a substituição[tex]\tt x=asen(\theta)[/tex] onde [tex]\tt dx=acos(\theta)d\theta[/tex] e [tex]\tt\sqrt{a^2-x^2}=acos(\theta)[/tex]
• Se o integrando for da forma [tex]\tt\sqrt{a^2+x^2}[/tex] use a substituição [tex]\tt x=atg(\theta)[/tex] onde [tex]\tt dx =asec^2(\theta)d\theta[/tex] e [tex]\tt \sqrt{a^2+x^2}=asec(\theta)[/tex]
• Se o integrando for  da forma [tex]\tt\sqrt{x^2-a^2}[/tex] use a substituição [tex]\tt x=asec(\theta)[/tex] onde [tex]\tt dx=asec(\theta)tg(\theta)d\theta[/tex] e [tex]\tt\sqrt{x^2-a^2}=atg(\theta)[/tex]

Veja  anexo 1 para melhor entender.

✍️Vamos a resolução do exercício

Perceba que o integrando é da forma [tex]\tt\sqrt{a^2-x^2}[/tex] portanto usaremos a substituição [tex]\tt x=asen(\theta)[/tex] onde [tex]\tt dx=acos(\theta)d\theta[/tex] e [tex]\tt\sqrt{a^2-x^2}=acos(\theta)[/tex].

[tex]\Large\boxed{\begin{array}{l}\sf\displaystyle\sf\int\dfrac{\sqrt{1-3x^2}}{x}\,dx\\\\\sf \sqrt{3}x=1sen(\theta)\implies x=\dfrac{1}{\sqrt{3}}sen(\theta)\\\\\sf dx=\dfrac{1}{\sqrt{3}}cos(\theta)d\theta\\\sf\sqrt{1-3x^2}=cos(\theta)\end{array}}[/tex]

Vamos substituir na integral e resolver na variável [tex]\theta[/tex].[tex]\Large\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\sf\int\dfrac{cos(\theta)}{\frac{1}{\sqrt{3}}sen(\theta)}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{3}}cos(\theta)d\theta=\bigg/\!\!\!\!\!\sqrt{3}\cdot\dfrac{1}{\bigg/\!\!\!\!\!\sqrt{3}}\int \dfrac{cos^2(\theta)}{sen(\theta)}d\theta\\\\\displaystyle\sf\int\dfrac{1-sen^2(\theta)}{sen(\theta)}d\theta=\int \dfrac{1}{sen(\theta)}d\theta-\int\dfrac{\bigg/\!\!\!\!\!sen(\theta)\cdot sen(\theta)}{\bigg/\!\!\!\!sen(\theta)}d\theta\end{array}}[/tex]

[tex]\Large\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\sf\int cosec(\theta)d\theta=\ln |cosec(\theta)-cot(\theta)|+k\\\\\displaystyle\sf\int sen(\theta)d\theta=-cos(\theta)\\\\\displaystyle\sf\int\dfrac{1-cos^2(\theta)}{sen(\theta)}=\ln|cosec(\theta)-cot(\theta)|-(-cos(\theta))+k\\\\\displaystyle\sf\int\dfrac{1-cos^2(\theta)}{sen(\theta)}d\theta= \ln|cosec(\theta)-cot(\theta)|+cos(\theta)+k\end{array}}[/tex]

Agora utilizando a figura do anexo 2 como base vamos exprimir [tex]\tt cos(\theta)[/tex] em função de x, simplificar o quanto conseguirmos e por fim concluir o exercício.

[tex]\Large\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\sf\int\dfrac{\sqrt{1-3x^2}}{x}\,dx=\ln\bigg|\dfrac{1}{\sqrt{3x}}-\dfrac{\sqrt{1-3x^2}}{\sqrt{3x}}\bigg|+\sqrt{1-3x^2}\\\\\displaystyle\sf\int\dfrac{\sqrt{1-3x^2}}{x}\,dx=\ln\bigg|\dfrac{1-\sqrt{1-3x^2}}{\sqrt{3x}}\bigg|+\sqrt{1-3x^2}+k\end{array}}[/tex]

Saiba mais em:

brainly.com.br/tarefa/12390714

brainly.com.br/tarefa/54383680

Usando a técnica de integração  mudança de variável, e divisão longa de polinômios podemos concluir que a integral [tex]\Large\text{$\int \frac{\sqrt{1-3x^2} }{x} dx $}[/tex] é

[tex]\Large\text{$\boxed{\sqrt{1-3x^2} -ArcCotgH(\sqrt{1-3x^2} )+C}$}[/tex]

Mas, como chegamos nessa resposta?

Temos a seguinte integral.

[tex]\Large\text{$\int \frac{\sqrt{1-3x^2} }{x} dx $}[/tex]

Perceba que é uma integral que não sabemos integrar, então vamos usar alguma técnica de integração. umas das técnicas que podemos fazer é a técnica de mudança de variável  

Vamos chamar

[tex]\Large\text{$\boxed{U=\sqrt{1-3x^2}} $}[/tex]

[tex]\Large\text{$\dfrac{du}{dx} =-\dfrac{3x}{\sqrt{1-3x^2}} $}[/tex]

[tex]\Large\text{$\dfrac{-\sqrt{1-3x^2}\cdot du}{3x} =dx $}[/tex]

[tex]\Large\text{$\boxed{\dfrac{-U\cdot du}{3x} =dx} $}[/tex]

Substituindo temos

[tex]\Large\text{$\int \dfrac{\sqrt{1-3x^2} }{x} dx $}\\\\\\\Large\text{$\boxed{\int \dfrac{U }{x} \cdot \dfrac{-Udu}{3x} }$}[/tex]

Vamos dar uma simplificada na integral  agora

[tex]\Large\text{$\int \dfrac{-U^2 }{3x^2} du$}\\\\\\\Large\text{$-\dfrac{1}{3}\int \dfrac{U^2 }{x^2} du$}[/tex]

Bem agora veja que temos um problema, não podemos ficar com U e X na integral. Já que temos DU como integrando vamos ter que reescrever esse X em função de U

[tex]\Large\text{$U=\sqrt{1-3x^2} $}\\\\\Large\text{$U^2=1-3x^2 $}\\\\\Large\text{$U^2-1=-3x^2 $}\\\\\\\Large\text{$\boxed{-\dfrac{U^2-1}{3} =x^2} $}[/tex]

Agora vamos substituir X²

[tex]\Large\text{$-\dfrac{1}{3}\int \dfrac{U^2 }{x^2} du$}\\\\\\\\\Large\text{$-\dfrac{1}{3}\int \dfrac{U^2 }{-\dfrac{U^2-1}{3} } du$}[/tex]

Perceba que temos uma função composta então vamos simplifica-lá e depois colocar as constantes para fora da integral.

[tex]\Large\text{$-\dfrac{1}{3}\int \dfrac{U^2 }{1 } \cdot -\dfrac{3}{U^2-1} du$}\\\\\\\Large\text{$-\dfrac{1}{3}\int -\dfrac{3U^2 }{U^2-1 } du$}\\\\\\\Large\text{$-\dfrac{1}{3}\cdot-3\int \dfrac{U^2 }{U^2-1 } du$}\\\\\\\Large\text{$\boxed{\int \dfrac{U^2 }{U^2-1 }du}$}[/tex]

Pronto agora só temos que resolver essa nova integral :)

Se a gente usar de novo uma substituição de variável  vamos ficar andando em círculos. então vamos pensar diferente. veja que temos uma divisão de polinômios na  integral. Então podemos fazer uma divisão longa e usar a seguinte propriedade da divisão

• [tex]\dfrac{A}{B} = Quociente~+~\dfrac{Resto}{divisor }[/tex]

• Exemplo [tex]\dfrac{29}{2}= 14+\dfrac{1}{2}[/tex]

Então vamos fazer logo a divisão longa

[tex]\Large\begin{array}{rrrrrr}\sf U^2 &\sf \underline{\sf|\;U^2-1\quad}\\\sf-U^2+1& \sf1\\\sf 1\\ \sf\end{array}[/tex]

Aplicando [tex]\dfrac{A}{B} = Quociente~+~\dfrac{Resto}{divisor }[/tex]

Temos que

• [tex]\Large\text{$\dfrac{U^2 }{U^2-1 }=\boxed{1+\dfrac{1}{U^2-1}}$}[/tex]

Agora vamos ver a nossa nova integral

[tex]\Large\text{$\int \dfrac{U^2 }{U^2-1 }du$}\\\\\\\Large\text{$\int1+ \dfrac{1 }{U^2-1 }du$}[/tex]

Quebrando a integral em duas temos

[tex]\Large\text{$\int1+ \dfrac{1 }{U^2-1 }du$}\\\\\\\Large\text{$\int1du+ \int\dfrac{1 }{U^2-1 }du$}[/tex]

Agora presta atenção.  Vamos usar umas artimanhas aqui para facilitar o cálculo perceba que temos [tex]\dfrac{1}{U^2-1}[/tex]  Numa das integrais. então teríamos que usar frações parciais para resolver. porem veja   que essa função [tex]\dfrac{1}{U^2-1}[/tex] é parecida com a derivada de um função conhecida. a derivada do Arco cotangente hiperbólica

• [tex]\Large\text{$\dfrac{d}{dx}\left(ArcCotgH(x)\right)= \dfrac{1}{-x^2+1} $}[/tex]

Perceba que temos quase isso na integral, a uninca diferença é o sinal. Mas se colocarmos o -1 em evidencia conseguimos exatamente antiderivada do ArcCotgH(x)

[tex]\Large\text{$\int1du+ \int\dfrac{1 }{U^2-1 }du$}\\\\\\\Large\text{$\int1du+ \int\dfrac{1 }{-\cdot(-U^2+1) }du$}\\\\\\\Large\text{$\int1du+ -\int\dfrac{1 }{(-U^2+1) }du$}\\\\\\\Large\text{$\boxed{\int1du-\int\dfrac{1 }{(-U^2+1) }du}$}[/tex]

Agora conseguimos integrar tranquilamente

[tex]\Large\text{$\int1du-\int\dfrac{1 }{(-U^2+1) }du$}\\\\\\\\\Large\text{$U-ArcCotgH(U)+C$}[/tex]

Lembre-se que no inicio chamamos  [tex]\Large\text{$\boxed{U=\sqrt{1-3x^2}} $}[/tex] então temos

[tex]\Large\text{$U-ArcCotgH(U)+C$}\\\\\\\Large\text{$\boxed{\sqrt{1-3x^2} -ArcCotgH(\sqrt{1-3x^2} )+C}$}[/tex]