Resposta:

a) [tex]\lim_{x\to\infty}x^ne^{-x} = 0[/tex]

b) [tex]\lim_{x\to0^+}x^a\ln(x) = 0[/tex]

Explicação passo a passo:

a)  Primeiro vamos manipular a expressão [tex]x^ne^{-x} = \frac{x^n}{e^x}[/tex]

Aplicando o limite, temos um limite na forma [tex]\lim_{x\to \infty} \frac{x^n}{e^x} = \frac{\infty}{\infty}[/tex], que é indeterminado, portanto aplicamos o teorema de l'Hopital

                     [tex]\lim_{x\to \infty} \frac{x^n}{e^x} = \lim_{x\to \infty}\frac{(x^n)'}{e^x'} = \lim_{x\to \infty} \frac{nx^{n-1}}{e^x}[/tex]

Que também nos da um limite na forma indeterminada [tex]\frac{\infty}{\infty}[/tex], porém, aplicando o teorema de l'Hopital n vezes, obtemos

    [tex]\lim_{x\to \infty} \frac{x^n}{e^x} = \lim_{x\to \infty}\frac{(x^n)'}{e^x'} = \dots = \lim_{x\to \infty}\frac{(x^n)^{(n)}}{(e^x)^{(n)}} = \lim_{x\to \infty} \frac{n!}{e^x} = 0[/tex]

Logo, [tex]\lim_{x\to\infty}x^ne^{-x} = 0[/tex]

b) Da mesma maneira vamos manipular a expressão [tex]x^a\ln(x) = \frac{\ln(x)}{x^{-a}}[/tex] que da um limite na forma indeterminada [tex]\frac{-\infty}{\infty}[/tex], aplicando a regra de l'Hopital, temos

     [tex]\lim_{x\to 0^+}\frac{\ln(x)}{x^{-a}} = \lim_{x\to 0^+}\frac{\frac{1}{x}}{-ax^{-a-1}} = \lim_{x\to 0^+}\frac{x^{a+1}}{-ax} = \lim_{x\to 0^+}\frac{x^a}{-a} = 0[/tex]

Logo

[tex]\lim_{x\to0^+}x^a\ln(x) = 0[/tex]

A)

[tex]\Large\text{$\lim_{x\to \infty }\left(x^N\cdot e^{-x}\right)$}[/tex]

Substituindo X por  infinito temos

[tex]\Large\text{$X^{\infty}\cdot e^{-\infty}= \infty\cdot 0????$}[/tex]

Lembrando que infinito vezes zero é indeterminado

Bem primeiro vamos analisar o problema, veja que temos o expoente  do e negativo

Utilizando  propriedade de potencia temos

[tex]\Large\text{$a^{-n}=\dfrac{1}{a^n} $}[/tex]

Logo

[tex]\Large\text{$\lim_{x\to \infty }\left(x^N\cdot e^{-x}\right)=\lim_{x\to \infty }\left(x^N\cdot \dfrac{1}{e^x} \right)$}\\\\\\\Large\text{$\lim_{x\to \infty }\left( \dfrac{x^N}{e^x} \right)$}[/tex]

Se substituirmos X por zero ainda teremos indeterminação do tipo [tex]\dfrac{\infty}{\infty}[/tex] Mas veja que agora podemos usar um velho truque, a famosa técnica de l'hospital

Derivando em cima e embaixo temos

[tex]\Large\text{$\lim_{x\to \infty }\left( \dfrac{x^N}{e^x} \right)=\lim_{x\to \infty }\left( \dfrac{N\cdot x^{N-1}}{e^x} \right)$}[/tex]

o que ainda da indeterminação [tex]\dfrac{\infty}{\infty}[/tex], e se derivamos denovo ainda dará indeterminação porque não sabemos o valor de N, pois ele pode ser qualquer número natural. Então vamos usar  a malandragem  a famosa analise matemática

Se pegarmos um polinômio de qualquer grau, ao derivamos inúmeras vezes  teremos no final  a contente em fatorial  C! sendo essa Constante um número natural obviamente

Exemplo [tex]Y=X^5[/tex]. Derivando ele sem parar ficaremos uma hora com isso

[tex]x^5= 5x^4= 5\cdot 4x^3=5\cdot 4 \cdot 3 x^2=5\cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 x^1= \boxed{5\cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}[/tex]

Ou seja se derivamos [tex]X^N[/tex] em algum momento chegaremos em [tex]N![/tex]

e se derivamos o [tex]e^x[/tex] sem para ele sempre continuará sendo [tex]e^x[/tex] então vamos substituir no nosso limite

[tex]\Large\text{$\lim_{x\to \infty }\left( \dfrac{N\cdot x^{N-1}}{e^x} \right)=\boxed{\lim_{x\to \infty }\left( \dfrac{N!}{e^x} \right)}$}[/tex]

Feito isso acabou a questão pois se substituirmos  X por infinito não teremos indeterminação

[tex]\Large\text{$\lim_{x\to \infty }\left( \dfrac{N!}{e^x} \right)=\left( \dfrac{N!}{e^\infty} \right)=\left( \dfrac{N!}{0} \right)=\boxed{0}$}[/tex]

Questão B

[tex]\Large\text{$\lim_{x\to 0+}\left(x^a\cdot ln(x)\right)$}[/tex]

Substituindo  X por 0+ temos

[tex]\Large\text{$\lim_{x\to 0+}\left(x^a\cdot ln(x)\right)= 0\cdot -\infty????$}[/tex]

0 multiplicado por infinito e indeterminado

Então vamos usar algumas técnicas  que usamos no problema anterior

[tex]\Large\text{$a^{n}=\dfrac{1}{a^{-n}} $}[/tex]

[tex]\Large\text{$\lim_{x\to 0+}\left( \dfrac{ln(x)}{x^{-a}} \right)$}[/tex]

Ainda não resolvemos o nosso problema pois se substituirmos x por 0+ teremos indeterminação então vamos aplicar l'hopital

[tex]\Large\text{$\lim_{x\to 0+}\left( \dfrac{ln(x)}{x^{-a}} \right)=\lim_{x\to 0+}\left( \dfrac{\dfrac{1}{x} }{-a\cdot x^{-a-1}} \right)=$}\\\\\\[/tex]

Resolvendo a fração composta e manipulando ela temos

[tex]\Large\text{$\lim_{x\to 0+}\left( \dfrac{1 }{x\cdot -a\cdot x^{-a-1}} \right)$}\\\\\\\Large\text{$\lim_{x\to 0+}\left( \dfrac{x^{a+1}}{-ax } \right)$}[/tex]

Derivando em cima e embaixo de novo temos

[tex]\Large\text{$\lim_{x\to 0+}\left( \dfrac{x^{a+1}}{-ax } \right)$}\\\\\\\Large\text{$\boxed{\lim_{x\to 0+}\left( \dfrac{(a+1)\cdot x^{a}}{-a } \right)}$}[/tex]

Veja que substituirmos X por 0+ não teremos indeterminação

[tex]\Large\text{$\lim_{x\to 0+}\left( \dfrac{(a+1)\cdot x^{a}}{-a } \right)=\left( \dfrac{(a+1)\cdot 0^{a}}{-a } \right)=\dfrac{0}{-a}=\boxed{0} $}[/tex]

então o limite tende a zero