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Ao efetuar os cálculos necessários, concluímos que o resultado da integral indefinida repassada corresponde a:

      [tex]\Large\displaystyle\boxed{\boxed{\bf \int \dfrac{\sqrt{x}}{x + 1}~dx ~=~ \boxed{\bf 2\sqrt{x} - 2\arctan\left(\sqrt{x}\right) + \mathbb{C}}}}~~\checkmark[/tex]

Resolvendo a questão proposta:

- Antes de mais nada, relembre:

[tex]\Large\displaystyle\text{${\sf \int \dfrac{1}{x^2 + 1} ~dx ~=~ \arctan\left(x\right) + \mathbb{C} ~~~~\left(i\right)}$}[/tex]

[tex]\Large\displaystyle\text{${\sf \int \left(f\left(x\right) \pm g\left(x\right)\right)~dx ~=~ \int f\left(x\right) \,dx ~\pm ~\int g\left(x\right)\,dx ~~~~\left(ii\right)}$}[/tex]

[tex]\Large\displaystyle\text{${\sf \int 1~dx ~=~ x + \mathbb{C} ~~~~\left(iii\right)}$}[/tex]

[tex]\Large\displaystyle\text{${\sf \int a \cdot f\left(x\right)~dx ~=~ a \cdot \int f\left(x\right) ~dx ~~~~\left(iv\right)}$}[/tex]

O objetivo é resolver a seguinte integral indefinida:

[tex]\Large\displaystyle\text{${\sf \Longrightarrow ~ \int \dfrac{\sqrt{x}}{x + 1}~dx ~~~~\left(v\right)}$}[/tex]

Faça a seguinte substituição:

[tex]\Large\text{${\sf \Longrightarrow \sqrt{x} = u ~~~~\left(vi\right)}$}[/tex]

Como consequências imediatas dessa substituição temos:

[tex]\Large\text{${\sf \Longrightarrow ~ u^2 = x ~~~~\left(vii\right)}$}[/tex]

[tex]\Large\text{${\sf \Longrightarrow ~ du ~=~ \dfrac{1}{2\sqrt{x}}~dx ~=~ \dfrac{1}{2u}~dx ~~~~\left(viii\right)}$}[/tex]

[tex]\Large\text{${\sf \Longrightarrow ~ 2u~du ~=~dx ~~~~\left(ix\right)}$}[/tex]

Nós apenas precisamos das substituições de (vii) e de (ix), já que (ix) é uma forma de reescrever (viii).

Portanto:

[tex]\Large\displaystyle\text{${\sf \Longrightarrow ~ \int \dfrac{\sqrt{x}}{x + 1}~dx }$}[/tex]

[tex]\Large\displaystyle\text{${\sf \Longleftrightarrow ~ \int \dfrac{u}{u^2 + 1} \cdot 2u ~du }$}[/tex]

Por (iv), temos que:

[tex]\Large\displaystyle\text{${\sf \Longrightarrow ~ \int \dfrac{u}{u^2 + 1} \cdot 2u ~du }$}[/tex]

[tex]\Large\displaystyle\text{${\sf \Longleftrightarrow ~ 2 \cdot \int \dfrac{u}{u^2 + 1} \cdot u ~du }$}[/tex]

[tex]\Large\displaystyle\text{${\sf \Longleftrightarrow ~ 2 \cdot \int \dfrac{u \cdot u}{u^2 + 1} ~du }$}[/tex]

[tex]\Large\displaystyle\text{${\sf \Longleftrightarrow ~ 2 \cdot \int \dfrac{u^2}{u^2 + 1} ~du }$}[/tex]

Ainda não está muito conveniente para resolver, portanto, faça aparecer uma soma com o número zero no numerador ao lado de u²:

[tex]\Large\displaystyle\text{${\sf \Longrightarrow ~ 2 \cdot \int \dfrac{u^2}{u^2 + 1} ~du }$}[/tex]

[tex]\Large\displaystyle\text{${\sf \Longleftrightarrow ~ 2 \cdot \int \dfrac{u^2 + 0}{u^2 + 1} ~du }$}[/tex]

Reescreva este 0 (zero) como 1 - 1:

[tex]\Large\displaystyle\text{${\sf \Longrightarrow ~ 2 \cdot \int \dfrac{u^2 + 0}{u^2 + 1} ~du }$}[/tex]

[tex]\Large\displaystyle\text{${\sf \Longleftrightarrow ~ 2 \cdot \int \dfrac{u^2 + 1 - 1}{u^2 + 1} ~du }$}[/tex]

Separe as frações, em que uma delas será positiva e terá numerador u² + 1, e a outra será negativa terá numerador 1:

[tex]\Large\displaystyle\text{${\sf \Longrightarrow ~ 2 \cdot \int \dfrac{u^2 + 1 - 1}{u^2 + 1} ~du }$}[/tex]

[tex]\Large\displaystyle\text{${\sf \Longleftrightarrow ~ 2 \cdot \int \dfrac{u^2 + 1 }{u^2 + 1} - \dfrac{1}{u^2 + 1}~du }$}[/tex]

Por (ii), temos que:

[tex]\Large\displaystyle\text{${\sf \Longrightarrow ~ 2 \cdot \int \dfrac{u^2 + 1 }{u^2 + 1} - \dfrac{1}{u^2 + 1}~du }$}[/tex]

[tex]\Large\displaystyle\text{${\sf \Longleftrightarrow ~ 2 \cdot \left(\int \dfrac{u^2 + 1 }{u^2 + 1} ~du ~-~ \int\dfrac{1}{u^2 + 1}~du\right) }$}[/tex]

Na integral à esquerda, sabemos que a fração (u² + 1)/(u² + 1) resulta em 1, enquanto que na integral à direita é da mesma forma que é descrita em (i), portanto, teremos:

[tex]\Large\displaystyle\text{${\sf \Longrightarrow ~ 2 \cdot \left(\int \dfrac{u^2 + 1}{u^2 + 1} ~du ~-~\int \dfrac{1}{u^2 + 1}~du \right)}$}[/tex]

[tex]\Large\displaystyle\text{${\sf \Longleftrightarrow ~ 2 \cdot \left(\int \underbrace{\boxed{\sf \dfrac{u^2 + 1 }{u^2 + 1}}} ~du ~-~ \underbrace{\boxed{\sf \int\dfrac{1}{u^2 + 1}~du}}\right) }$}\\\sf ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=1 ~~~~~~~~~~~~~~=\arctan\left(u\right) + \mathbb{C}[/tex]

[tex]\Large\displaystyle\text{${\sf \Longleftrightarrow ~ 2 \cdot \left(\int 1 ~du ~-~ \arctan\left(u\right) \right) }$}[/tex]

Por (iii), temos ao final:

[tex]\Large\displaystyle\text{${\sf \Longrightarrow ~ 2 \cdot \left(\int 1 ~du ~-~ \arctan\left(u\right) \right) }$}[/tex]

[tex]\Large\displaystyle\text{${\sf \Longleftrightarrow ~ 2 \cdot u - 2\arctan\left(u\right) + \mathbb{C} }$}[/tex]

Volte à variável inicial que foi substituída por u, conforme (vi):

[tex]\Large\displaystyle\text{${\sf \Longrightarrow ~ 2 \cdot u - 2\arctan\left(u\right) + \mathbb{C} }$}[/tex]

[tex]\Large\displaystyle\text{${\sf \Longleftrightarrow ~ 2\sqrt{x} - 2\arctan\left(\sqrt{x}\right) + \mathbb{C} ~~~\checkmark }$}[/tex]

Em que [tex]\mathbb{C}[/tex] é uma constante arbitrária de integração.

Dúvidas? Comente.

Bons estudos.

Espero ter ajudado❤.

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brainly.com.br/tarefa/56653031