Geralmente usamos redução ao absurdo para provar que um número é irracional. Se tiver outra forma eu não sei ( fica como pesquisa ). Mas do que se trata a redução ao absurdo?
Demonstração por redução ao absurdo
Seja P nossa hipótese e Q nossa tese. Para provar por absurdo devemos negar a tese e depois chegar ( com manipulações, conhecimentos de definições etc... ) em uma contradição. Ou seja,
P ⇒ Q ∴ ~Q ⇒ Absurdo
Supondo por absurdo que [tex]\sqrt[3]{2}[/tex] seja um número racional. Ou seja, um número do tipo [tex]\dfrac{a}{b}[/tex], onde mdc(a,b) = 1 irredutível. Daí vem que
Sabemos que, por definição, um número é par se é do tipo a = 2k, ∀k ∈ Z. Então, concluímos que a é par, pois b³ é um inteiro qualquer. Se a é par então
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Explicação passo a passo:
Geralmente usamos redução ao absurdo para provar que um número é irracional. Se tiver outra forma eu não sei ( fica como pesquisa ). Mas do que se trata a redução ao absurdo?
Demonstração por redução ao absurdo
Seja P nossa hipótese e Q nossa tese. Para provar por absurdo devemos negar a tese e depois chegar ( com manipulações, conhecimentos de definições etc... ) em uma contradição. Ou seja,
P ⇒ Q ∴ ~Q ⇒ Absurdo
Supondo por absurdo que [tex]\sqrt[3]{2}[/tex] seja um número racional. Ou seja, um número do tipo [tex]\dfrac{a}{b}[/tex], onde mdc(a,b) = 1 irredutível. Daí vem que
[tex]\dfrac{a}{b} =\sqrt[3]{2} \Rightarrow a=b\sqrt[3]{2} \Rightarrow a^3=2b^3[/tex]
Sabemos que, por definição, um número é par se é do tipo a = 2k, ∀k ∈ Z. Então, concluímos que a é par, pois b³ é um inteiro qualquer. Se a é par então
[tex](2k)^3=2b^3 \Rightarrow 8k^3=2b^3\Rightarrow 4k^3=b^3\Rightarrow b^3=2.(2k^3)[/tex]
Com isso, também concluímos que b é par. Portanto, é um absurdo, pois admitimos no começo que a/b é irredutível.
C.q.d.