Bonjour ne n'arrive pas à faire la démonstration par récurrence de
[tex]u_{n+1}[/tex] = [tex]\frac{1}{2}u_{n} \sqrt{2+u_{n}+u_{n}^{2} }[/tex] avec [tex]u_{0}[/tex] = 0
Montrer que 0≤ [tex]u_{n}[/tex]≤[tex]u_{n+1}[/tex]≤1
Merci d'avance
[tex]u_{n+1}[/tex] = [tex]\frac{1}{2}u_{n} \sqrt{2+u_{n}+u_{n}^{2} }[/tex] avec [tex]u_{0}[/tex] = 0
Montrer que 0≤ [tex]u_{n}[/tex]≤[tex]u_{n+1}[/tex]≤1
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Réponse :
Explications étape par étape :
■ Un+1 = 0,5Un √(Un² + Un + 2) avec Uo = 0,5 .
■ U1 = 0,5 * 0,5 * √(0,25+0,5+2) = 0,25 * √2,75 ≈ 0,4146
U2 ≈ 0,5 * 0,4146 * √2,5865 ≈ 0,3334
U3 ≈ 0,5 * 0,3334 * √2,4446 ≈ 0,2606
U4 ≈ 0,5 * 0,2606 * √2,3285 ≈ 0,1988
la suite (Un) est donc décroissante, positive, de Limite zéro .
■ recherche des Limites L :
L = 0,5 L √(L² + L + 2)
devient L² = 0,25 L² (L²+L+2)
0,25L^4 + 0,25L³ + 0,5L² - L² = 0
multiplions par 4 :
L^4 + L³ + 2L² - 4 L² = 0
L^4 + L³ - 2 L² = 0
divisons par L :
L³ + L² - 2 L = 0
L ( L² + L - 2 ) = 0
L (L-1) (L-2) = 0
d' où Limites cherchées = 0 et 1 .
Il faut donc 0 ≤ Uo ≤ 1 .
■ Un+1 = 0,5 Un * √(Un² + Un + 2)
majorons Un par 1 :
Un+1 = 0,5√4 = 1 .
■ Un+1 = 0,5 Un * √(Un² + Un + 2)
étudions la Limite pour Un tendant vers 1-
Lim Un+1 = 0,5 * (1-) * Lim√(4-) = 0,5 * (1-) * (2-) = 0,5 * (2-) = 1- .
■ conclusion : 0 ≤ Un ≤ Un+1 ≤ 1 .
■ vérification avec Uo = 1,5 ( supérieur à 1 ) :
U1 = 0,5 * 1,5 * √5,75 ≈ 1,8
U2 ≈ 0,5 * 1,8 * √7,04 ≈ 2,4
U3 ≈ 0,5 * 2,4 * √10,2 ≈ 3,8
U4 ≈ 0,5 * 3,8 * √20,2 ≈ 8,5
la suite (Un) serait alors croissante !