Determine a equação geral do plano tangente, bem como a equação vetorial da reta normal ao elipsoide de equação (3/4)x² + 3y² + z² = 12, passando pelo ponto de tangência
[tex]T(2, 1, \sqrt{6})[/tex]
O ponto de tangência é 2, 1, e raiz quadrada de 6.
[tex]T(2, 1, \sqrt{6})[/tex]
O ponto de tangência é 2, 1, e raiz quadrada de 6.
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✅ Após ter desenvolvido todos os cálculos, concluímos que a equação geral do plano tangente à superfície do elipsoide bem como a equação vetorial da reta normal passando pelo ponto "T", são, respectivamente:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \pi: 3x + 6y + 2\sqrt{6}z = 24\:\:\:}}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf r: (x, y, z) = (2, 1, \sqrt{6}) + \lambda(3, 6, 2\sqrt{6})\:\:\:}}\end{gathered}$}[/tex]
Sejam os dados:
[tex]\Large\begin{cases} e: \dfrac{3}{4}x^{2} + 3y^{2} + z^{2} = 12\\T(2, 1, \sqrt{6})\end{cases}[/tex]
Sabendo que para determinar a equação geral do plano "π" tangente à superfície de nível, precisamos do vetor normal "n" ao referido plano e o ponto de tangencia "T" entre o plano e a superfície, ou seja, precisamos dos seguintes itens:
[tex]\Large\begin{cases} \vec{n} = (X_{n}, Y_{n}, Z_{n})\\T(X_{T}, Y_{T}, Z_{T})\end{cases}[/tex]
Sabendo que a equação geral do plano pode ser montada sobre a seguinte fórmula:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\bf(I) \end{gathered}$}[/tex] [tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered} X_{n}\cdot X + Y_{n}\cdot Y + Z_{n}\cdot Z = X_{n}\cdot X_{T} + Y_{n}\cdot Y_{T} + Z_{n}\cdot Z_{T}\end{gathered}$}[/tex]
OBSERVAÇÃO: A função "f" - que vou me referir a partir de agora - se refere a função que representa o elipsoide "p".
Para montar a referida equação do plano devemos utilizar as seguintes etapas:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{3}{4}\cdot2\cdot x^{2 - 1} = \frac{6}{4}x = \frac{3}{2}x \end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \frac{\partial f}{\partial y} = 3\cdot2\cdot y^{2 - 1} = 6y\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \frac{\partial f}{\partial z} = 2\cdot z^{2 - 1} = 2z\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \nabla f(x, y, z) = \Bigg(\frac{\partial f}{\partial x},\:\frac{\partial f}{\partial y},\:\frac{\partial f}{\partial z}\Bigg)\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \Bigg(\frac{3}{2}x,\:6y,\:2z\Bigg)\end{gathered}$}[/tex]
Portanto, o vetor gradiente é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \nabla f(x, y, z) = \Bigg(\frac{3}{2}x,\:6y,\:2z\Bigg)\end{gathered}$}[/tex]
Sabemos que o vetor normal é igual ao vetor gradiente aplicado ao ponto "T", ou seja:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \vec{n_{\pi}} = \nabla f(T)\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \Bigg(\frac{\partial f}{\partial x}\cdot X_{T},\:\frac{\partial f}{\partial y}\cdot Y_{T},\:\frac{\partial f}{\partial z}\cdot Z_{T}\Bigg)\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \Bigg(\frac{3}{2}\cdot2,\:6\cdot1,\:2\cdot\sqrt{6}\Bigg)\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = (3,6,2\sqrt{6})\end{gathered}$}[/tex]
Portanto, o vetor normal à superfície pelo ponto "T" é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \vec{n_{\pi}} = (3,6,2\sqrt{6})\end{gathered}$}[/tex]
Substituindo os valores na equação "I", temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 3\cdot x + 6\cdot y + 2\sqrt{6}\cdot z = 3\cdot2 + 6\cdot1 + 2\sqrt{6}\cdot\sqrt{6}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 3x + 6y + 2\sqrt{6}z = 6 + 6 + 12\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 3x + 6y + 2\sqrt{6}z = 24\end{gathered}$}[/tex]
✅ Portanto, a equação do plano tangente à superfície é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \pi: 3x + 6y + 2\sqrt{6}z = 24\end{gathered}$}[/tex]
Para montar a equação vetorial da reta normal à superfície pelo ponto "T", devemos possuir o vetor diretor "v" e o ponto "T". Então:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \vec{v_{r}} = \vec{n_{\pi}} = (3, 6, 2\sqrt{6})\end{gathered}$}[/tex]
Sabendo que podemos determinar a equação vetorial da reta utilizando a seguinte fórmula:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\bf(II) \end{gathered}$}[/tex] [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} P = T - \lambda \vec{v_{r}},\:\:\:\textrm{com}\:\lambda\in\mathbb{R}\:\:\:e\:\:\:\vec{v_{r}} \neq\vec{0}\end{gathered}$}[/tex]
✅ Substituindo os valores na equação "II", temos a seguinte equação vetorial da reta normal:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} r: (x, y, z) = (2, 1, \sqrt{6}) + \lambda(3, 6, 2\sqrt{6})\end{gathered}$}[/tex]
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