(UFBA) Determine todos os valores de x para os quais é um numero real.... Pergunta de ideia deKelvenC

April 2020 1 291 Report

(UFBA) Determine todos os valores de x para os quais $y= \sqrt{x- \frac{2}{x-1} } +log _{2} (-x+3)$ é um numero real.

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Vamos lá, vamos resolver por parte:

Primeiramente vamos olhar para a raiz. Para o "x" existir ali dentro temos duas condições:

$x-1 > 0$

Pois não existe fração com denominador valendo zero. E a outra condição:

$x-\frac{2}{x-1} \geqslant 0$

Pois para uma raiz quadrada existir nos números reais, não pode haver número negativo dentro da raiz.

Quanto ao logaritmo, temos apenas uma condição:

$-x+3 > 0$

Pois não existe logaritmo valendo zero ou número negativo:

Resolvendo cada condição:

$x-1 > 0
\\\\
\boxed{\boxed{x>1}}$

Segunda condição:

$x-\frac{2}{x-1}\geqslant 0
\\\\
MMC = x-1
\\\\
\frac{x(x-1)}{x-1}-\frac{2}{x-1} \geqslant \frac{0}{x-1}
\\\\
\frac{x^{2}-x-2}{x-1}\geqslant \frac{0}{x-1}
\\\\
x^{2}-x-2 \geqslant 0
\\\\
\Delta = b^{2}-4 \cdot a \cdot c
\\\\
\Delta = (-1)-4 \cdot (1) \cdot (-2)
\\\\
\Delta = 1+8
\\\\
\Delta = 9$

$x \geqslant \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}
\\\\
x \geqslant \frac{-(-1) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1}
\\\\\
x \geqslant \frac{1 \pm 3}{2}
\\\\\\
x' \geqslant \frac{1+3}{2} = \frac{4}{2} = \boxed{2}
\\\\
x' \geqslant \frac{1-3}{2} = \frac{-2}{2} = \boxed{-1}$

E a terceira condição:

$-x+3 > 0
\\\\
-x>-3 \ \ \times -1
\\\\
\boxed{\boxed{x<3}}$

Portanto, os valores de "x" são:

$x>1
\\\\
x \geqslant 2
\\\\
x \geqslant -1
\\\\
x <3
\\\\\\
\boxed{\boxed{S = x \ \epsilon \ [-1,1[ \ U \ [2,3[}}$

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