Após realizar os cálculos, concluiu-se que ele plantará 32 árvores.

Progressão aritmética é toda sequência numérica em que a diferença entre um termo e seu antecessor é sempre a mesma.

Nesse caso, o número de árvores em cada fileira forma uma progressão aritmética pois a diferença entre o número de uma fileira e sua antecessora é sempre a mesma: 8.

Fórmulas:

[tex]\displaystyle\large \text{$\mathsf{a_n=a_1+(n-1)\cdot r}$}[/tex]

[tex]\displaystyle\large \text{$\mathsf{S_n=\dfrac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}}$}[/tex]

• an = Termo n-ésimo
• a1 = Primeiro termo
• n = Número de termos
• r = Razão
• Sn = Soma de n termos

No nosso caso, temos que:

[tex]\displaystyle\large\begin{cases} \sf a_1=20\\\sf r=8\end{cases}[/tex]

Descobrindo o termo n-ésimo:

[tex]\displaystyle\large \text{$\mathsf{a_n=20+(n-1)\cdot 8}$}[/tex]

[tex]\displaystyle\large \boxed{\text{$\mathsf{a_n=12+8n}$}}[/tex]

Substituindo na fórmula da soma:

[tex]\displaystyle\large \text{$\mathsf{S_n=\dfrac{(20+12+8n)\cdot n}{2}}$}[/tex]

[tex]\displaystyle\large \boxed{\text{$\mathsf{S_n=4n^2+16n}$}}[/tex]

Como ele plantará até a penúltima fileira, Sn<800. Logo:

[tex]\displaystyle\large \text{$\mathsf{4n^2+16n < 800}$}[/tex]

Resolvendo a inequação:

[tex]\displaystyle\large \text{$\mathsf{n^2+4n-200 < 0}$}[/tex]

Por Bhaskara, temos que as raizes da inequação são:

[tex]\displaystyle\large \text{$\mathsf{n=2(\sqrt{51}-1), n=-2(1+\sqrt{51)} }$}[/tex]

Como a concavidade da parabola é para cima e n²+4n-200 é menor que 0, n deve estar entre as raízes.

Logo:

[tex]\displaystyle\large \text{$\mathsf{2(1+\sqrt{51}) < n < 2(\sqrt{51}-1) }$}[/tex]

Aproximando:

[tex]\displaystyle\large \text{$\mathsf{-16,28 < n < 12,28 }$}[/tex]

Portanto:

[tex]\displaystyle\large \boxed{\text{$\mathsf{n=12}$}}[/tex]

Substituindo em Sn:

[tex]\displaystyle\large\text{$\mathsf{S_n=4(12)^2+16\cdot 12}$}[/tex]

[tex]\displaystyle\large\boxed{\text{$\mathsf{S_n=768}$}}[/tex]

Como ele pretende plantar 800 árvores e até o momento ele plantou 768, ele plantará 32 árvores na última fila.

Aprenda mais sobre progressão aritmética em:

https://brainly.com.br/tarefa/55126617

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Após a realização dos cálculos ✍️, podemos concluir mediante ao conhecimento progressão aritmética (PA) que ele deve plantar 32 árvores na última fila ✅

Progressão aritmética (PA)

É uma sequência onde cada termo, a partir do segundo, é igual ao termo anterior somado com uma constante chamada razão da progressão.

Uma PA pode ser:

• crescente: quando a sequência vai do menor termo para o maior.Para que isso ocorra devemos ter sempre r>0.

    exemplo: (1,15,29,43...) é uma PA de razão r=14.

• decrescente: quando a sequência vai do maior termo para o menor termo.Para que isso ocorra devemos ter sempre r<0

      exemplo: (21,19,17,15...) é uma PA de razão r=-2

• constante: quando a sequência não muda de termos. Para que isso ocorra devemos ter sempre r=0.

       exemplo: (5,5,5,...) é uma PA de razão r=0

nota: para descobrir a razão de uma PA de modo prático basta tomar um elemento qualquer da sequência e diminuir de seu sucessor na própria sequência.

dessa forma temos que

[tex]\Large\boxed{\begin{array}{l}\tt (a_1,a_2,a_3,a_4,\dotsc a_{n-1},a_n)\\\tt r=a_2-a_1=a_3-a_2=a_4-a_3=a_n-a_{n-1}\end{array}}[/tex]

Termo geral da PA em função do primeiro termo

O termo geral da PA em função do  termo a₁ de uma PA qualquer é dado por

[tex]\Large\boxed{\begin{array}{l}\tt a_n=a_1+(n-1)\cdot r\\\tt a_n\longrightarrow \acute ultimo\,termo(termo\,geral)\\\tt a_1\longrightarrow 1^\circ\,termo\,da\,PA\\\tt n\longrightarrow n\acute umero\,de\,termos\\\tt r\longrightarrow raz\tilde ao\,da\,PA\end{array}}[/tex]

Soma dos termos da PA

A soma dos termos da PA é dada por

[tex]\Large\boxed{\begin{array}{l}\tt S_n=\dfrac{n\cdot(a_1+a_n)}{2}\\\tt S_n\longrightarrow soma\,dos\,termos\end{array}}[/tex]

✍️Vamos a resolução do exercício

Aqui o agricultor pretende plantar no máximo 800 árvores em filas onde  a sequência será (20,28,36...) trata-se portanto de uma PA de razão

r=28-20=8. Para descobrirmos quantas árvores ele plantará, devemos descobrir o número de termos dessa  PA levando em conta que n é um número natural e portanto se tivermos valores decimais, devemos arrendondar para cima ou para baixo. Primeiros tratemos de obter o termo geral dessa PA e depois substituamos na fórmula da soma dos termos. O número de árvores a ser descoberto é dada pela diferença entre 800 e o número de árvores da penúltima fila.

[tex]\Large\boxed{\begin{array}{l}\sf (20,28,36\dotsc)\\\sf r=a_2-a_1=28-20=8\\\sf a_n=a_1+(n-1)\cdot r\\\sf a_n=20+(n-1)\cdot 8\\\sf a_n=20+8n-8\\\sf a_n=8n+12\\\sf S_n=\dfrac{n\cdot (a_1+a_n)}{2}\\\\\sf 800=\dfrac{ n\cdot(20+8n+12)}{2}\\\\\sf 800=\dfrac{n\cdot(8n+32)}{2}\\\\\sf 800=\dfrac{n\cdot \bigg/\!\!\!\!2\cdot(4n+16)}{\bigg/\!\!\!\!2}\\\sf n\cdot(4n+16)=800\\\sf 4n^2+16n-800=0\div4\\\sf n^2+4n-200=0\end{array}}[/tex]

[tex]\Large\boxed{\begin{array}{l}\sf n^2+4n=200\\\sf n^2+4n-200=0\\\sf\Delta=b^2-4ac\\\sf \Delta=4^2-4\cdot1\cdot(-200)\\\sf\Delta=16+800\\\sf\Delta=816\\\sf n=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a},pois\,n\in\mathbb{N}\\\\\sf n=\dfrac{-4+\sqrt{816}}{2\cdot1}\\\\\sf n=\dfrac{-4+28,56}{2}=\dfrac{24,56}{2}=12,28\end{array}}[/tex]

Se tomarmos n=13 passaremos de 800 árvores  que  é o máximo que o agricultor pretende plantar. logo devemos assumir que n=12 para que isso não ocorra.

Substituindo n expressão n(4n+16) devemos descobrir o número de árvores que ele encontrou na penúltima fila.

[tex]\Large\boxed{\begin{array}{l}\sf n\cdot(4n+16)\bigg|_{n=12}=12\cdot(4\cdot12+16)\\\\\sf n\cdot(4n+16)\bigg|_{n=12}=12\cdot(48+16)\\\\\sf n\cdot(4n+16)\bigg|_{n=12}=12\cdot64\\\\\sf n\cdot(4n+16)\bigg|_{n=12}=768\end{array}}[/tex]

O número de árvores ele deve plantar na última fila é dado por

[tex]\Large\boxed{\begin{array}{l}\sf n^\circ\,de\,\acute arvores=800-768\\\sf n^\circ\,de\,\acute arvores=32\end{array}}[/tex]

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brainly.com.br/tarefa/57863169

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