Um fazendeiro dispõe de material para construir 80 metros de cerca em uma região retangular, com um dos lados adjacente a um rio. Sabendo que ele não pretende colocar cerca no lado do retangulo adjecente ao rio, a área máxima da superficie que conseguira cercar é:
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Explicação passo-a-passo:
Seja "x" o comprimento do lado do retângulo adjacente ao rio em metros e "y" o comprimento do lado oposto.
A cerca será construída em três lados do retângulo, com comprimentos "x", "y" e "y", totalizando 80 metros.
Portanto, temos a seguinte equação:
x + 2y = 80
Também sabemos que a área do retângulo é dada por:
A = xy
Isolando x em função de y, temos:
x = 80 - 2y
Substituindo em A, temos:
A = y(80 - 2y)
Expandindo a expressão, temos:
A = 80y - 2y^2
Para determinar o valor máximo de A, devemos derivar a expressão em relação a y, igualar a zero e resolver para y:
dA/dy = 80 - 4y = 0
y = 20
Substituindo y = 20 em x + 2y = 80, temos:
x + 2(20) = 80
x = 40
Portanto, as dimensões do retângulo são 40m x 20m e a área máxima que o fazendeiro pode cercar é:
A = 40m x 20m = 800m^2.