Um pentadecaedro convexo de 22 vértices é constituído por 4 faces triangulares; suas demais faces sã.... Pergunta de ideia deTacoMan2530

October 2019 1 1K Report

Um pentadecaedro convexo de 22 vértices é constituído por 4 faces triangulares; suas demais faces são pentagonais ou hexagonais. Quantas faces pentagonais possui esse poliedro?

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ArthurPDC

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Sejam A o número de arestas do poliedro, V o seu número de vértices e F o seu número de faces. Pelo enunciado, já sabemos que V = 22. Além disso, como se trata de um pentadecaedro, temos que F = 15. Pela Relação de Euler:

$V+F = A+2\\\\
22+15 = A+2\\\\
37=A+2\\\\
A = 37-2\\\\
A = 35$

Por outro lado, podemos calcular A utilizando o fato de que o total de arestas do poliedro é igual à metade da soma da quantidade de arestas de cada face. Isso se dá, pois cada aresta é compartilhada por duas faces adjacentes.

Desse modo, se $F_n$ é o número de faces do poliedro que apresentam n lados, podemos escrever:

$A = \dfrac{1}{2}(3\cdot F_3+5\cdot F_5+6\cdot F_6)$ ,

pois o poliedro dado apresenta apenas faces com 3, 5 ou 6 lados.

Sabemos que F₃ = 4. Então:

$A = \dfrac{1}{2}(3\cdot F_3+5\cdot F_5+6\cdot F_6)\\\\
35 = \dfrac{1}{2}(3\cdot4+5\cdot F_5+6\cdot F_6)\\\\
70 = 12+5F_5+6F_6\\\\
5F_5+6F_6=58~~~(i)$

Além disso, como F = 15, temos:

$F_3+F_5+F_6=F\\\\
4+F_5+F_6=15\\\\
F_5+F_6=11~~~(ii)$

Caímos num sistema de 2 equações e 2 incógnitas. Fazendo (i) - 5(ii):

$-\begin{cases}5F_5+6F_6=58\\5F_5+5F_6=55\end{cases}\\\\
---------\\\\
\Longrightarrow \boxed{F_6 = 3}$

Substituindo o valor obtido para F₆ em (ii):

$F_5+F_6=11\\\\ F_5+3=11\\\\ \Longrightarrow \boxed{F_5=8}$

Portanto, o poliedro apresenta 8 faces pentagonais.