(UM SP) Sejam os pontos A(2, 3), B(3, 4), C(4, 6), D(2, 4), E(3, 8) e F(k, 1). Se os triângulos ABC .... Pergunta de ideia deJohnni

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Vamos lá. Para calcular a área de um triângulo no plano cartesiano, basta a gente calcular determinante com os pontos deste triângulo.

Portanto, a área do ABC fica da seguinte forma:

$D = \begin{vmatrix}
2 & 3 & 1 \\ 
3 & 4 & 1 \\ 
4 & 6 & 1 
\end{vmatrix}$

Como você pode perceber, montamos a matriz da seguinte forma: Em cada linha colocamos as coordenadas dos pontos. Na 1° colocamos do ponto A, na 2° do B e na 3° os do ponto C. Depois só completamos com 1. Agora calculamos o determinante.

Para facilitar o calculo do determinante de uma matriz e ordem 3, repetimos a 1° e 2° pois só podemos multiplicar de 3 em 3.

$D = \begin{vmatrix}
2 & 3 & 1 \\ 
3 & 4 & 1 \\ 
4 & 6 & 1 
\end{vmatrix} \left.\begin{matrix}
2 & 3 \\ 
3 & 4 \\ 
4 & 6
\end{matrix}\right|
\\\\\\
D = (2 \cdot 4 \cdot 1) + (3 \cdot 1 \cdot 4) + (1 \cdot 3 \cdot 6) - (1 \cdot 4 \cdot 4) - (2 \cdot 1 \cdot 6) - (3 \cdot 3 \cdot 1)
\\\\
D = 8+12+18-16-12-9
\\\\
D = 38-37
\\\\
D = 1$

Então, a área será:

$A = \frac{|D|}{2}
\\\\
\boxed{A = \frac{1}{2}}$

Agora, faremos a mesma coisa com o triângulo DEF, igualando o determinante a 1, pois só assim os dois terão as áreas iguais. Assim achamos o valor de K.

$D = \begin{vmatrix}
2 & 4 & 1 \\ 
3 & 8 & 1 \\ 
k & 1 & 1
\end{vmatrix}
\\\\\\
D = \begin{vmatrix}
2 & 4 & 1 \\ 
3 & 8 & 1 \\ 
k & 1 & 1
\end{vmatrix}\left.\begin{matrix}
2 & 4 \\ 
3 & 8 \\ 
k & 1
\end{matrix}\right|
\\\\\\
D = (2 \cdot 8 \cdot 1) + (4 \cdot 1 \cdot k) + (1 \cdot 3 \cdot 1) - (1 \cdot 8 \cdot k) - (2 \cdot 1 \cdot 1) - (4 \cdot 3 \cdot 1)
\\\\
16+4k + 3 - 8k-2-12 = 1
\\\\
4k-8k = 1-16-3+2+12
\\\\
-4k = -4
\\\\
k = \frac{-4}{-4}
\\\\
\boxed{\boxed{K = 1}}$

Este deve ser o valor de K.

$\boxed{\text{Alternativa B}}$

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