Uma ferramenta matemática muito importante é a integral de linha, pois permite trabalhar com um campo escalar, quando se depende de várias variáveis. Considere a curva C parametrizada por
→
σ
=
(
e
−
t
,
s
e
n
(
π
t
)
)
,
1
≤
t
≤
2
, onde
→
F
=
2
x
c
o
s
(
y
)
,
−
x
2
s
e
n
(
y
)
, o valor de
∫
C
=
F
.
d
r
é:
→
σ
=
(
e
−
t
,
s
e
n
(
π
t
)
)
,
1
≤
t
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2
, onde
→
F
=
2
x
c
o
s
(
y
)
,
−
x
2
s
e
n
(
y
)
, o valor de
∫
C
=
F
.
d
r
é:
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Resposta: Para calcular a integral de linha ∫C F · dr, onde C é a curva parametrizada por σ = (e^(-t), sen(πt)), 1 ≤ t ≤ 2, e F = (2x cos(y), -x^2 sen(y)), vamos seguir os seguintes passos:
1. Calcule as derivadas de x(t) e y(t) em relação a t:
dx/dt = -e^(-t)
dy/dt = πcos(πt)
2. Substitua as funções x(t), y(t), dx/dt e dy/dt em F:
F = (2x cos(y), -x^2 sen(y))
= (2e^(-t)cos(sen(πt)), -(e^(-t))^2 sen(sen(πt)))
3. Calcule dr, que é o vetor tangente à curva C, dado por dr = (dx, dy):
dr = (dx/dt, dy/dt)
= (-e^(-t), πcos(πt))
4. Calcule F · dr:
F · dr = (2e^(-t)cos(sen(πt)), -(e^(-t))^2 sen(sen(πt))) · (-e^(-t), πcos(πt))
= -2e^(-2t)cos(sen(πt)) - π(e^(-t))^2 sen(sen(πt))cos(πt)
5. Agora, integre F · dr ao longo da curva C, com t variando de 1 a 2:
∫C F · dr = ∫[1,2] (-2e^(-2t)cos(sen(πt)) - π(e^(-t))^2 sen(sen(πt))cos(πt)) dt
Infelizmente, não consigo resolver isso. Seria necessário utilizar técnicas numéricas, como a quadratura numérica, para obter uma aproximação numérica da integral. F...
Explicação:
F....