Uma queimadura na pele de uma pessoa tem a forma de um círculo. Se o raio da queimadura está decresc.... Pergunta de ideia deAnas

November 2019 1 172 Report

Uma queimadura na pele de uma pessoa tem a forma de um círculo. Se o raio da queimadura está decrescendo a uma taxa de 0, 05 cm por dia quando ele é 1 cm, qual a taxa de decréscimo da área da queimadura nesse instante

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sammuel22xp16gib

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Well, vamos por parte:
Ao ler o enunciado temos que os dados apresentados foram:

1) O raio decresce a uma velocidade de 0,5 cm/dia, ou seja, $\frac{dx}{dt} = 0,05 \frac{cm}{dia}$ (Derivada do raio em relação ao tempo é igual a 0,05 cm/dia);

2) O valor do raio no instante que nos desejamos calcular é: $r= 1 cm$ ;

O que foi pedido:
1) A taxa de variação da área do circulo em relação ao tempo, ou seja: $\frac{dr}{dt}$ ;

Então, com esses dados podemos resolver o exercicio:
Sabemos que o calculo para a area de um circulo é dado por:
$Ac= \pi r^{2}$

O que devemos fazer para achar a velocidade de redução da area do circulo? Devemos derivar ambos os lados dessa formula, logo:
$\frac{dAc}{dt}= \frac{d \pi }{dt} \frac{d r^{2} }{dt}$ ;

Como $\pi$ é uma constante, sua derivada é ele mesmo, logo:
$\frac{dAc}{dt}= \pi \frac{d r^{2} }{dt}$ ;

como o raio $r$ está sendo derivado em relaçao ao tempo, ele é uma derivada implicita (Senão, ele teria de estar sendo derivado em relação a ele mesmo), logo, pela regra da cadeia temos:
$l(x)=f(g(x))$ ⇒ $\frac{dl(x)}{d(x)} = \frac{df(g(x))}{dx}$ ; logo:
$\frac{dl(x)}{dx} = \frac{df(g(x))}{dx}$ × $\frac{dg(x)}{dx}$ ;
Então, aplicando a regra da cadeia na equação: $\frac{dAc}{dt}= \pi \frac{d r^{2} }{dt}$ , obtemos:
$\frac{dAc}{dt}= \pi {dt} \frac{d r }{dt}$ × $2 \pi r$ ;

Substituindo os valores que temos, no instante em que $r=1 cm$ :
1) $\frac{dr}{dt} = -0,05 \frac{cm}{dia}$ ;
obtemos:
$\frac{dAc}{dt}=$ $2 \pi$ × $1$ × $(-0,05)$
logo:

$\frac{dAc}{dt}=$ $-0,1 \pi [tex] \frac{ cm^{2} }{dia}$ [/tex]

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