Após a realização dos cálculos✍️, podemos concluir mediante ao conhecimento de limites infinitos que:

a) As assíntotas de [tex]\tt f(x)=\dfrac{x}{x^2-x-2}[/tex] são  x=-1 e x=2 ✅

b) As assíntotas de [tex]\tt g(x)=\dfrac{x}{x^2-x+2}[/tex] não existem ✅

Assíntotas verticais

São retas paralelas ao eixo das ordenadas(eixo y) nos quais as raízes do denominador da função racional nunca intercepta estas retas. Para encontrar as possíveis assíntotas verticais basta igualar o denominador da função a zero e calcular as raízes caso existam.

matematicamente:

A linha vertical x=a  é chamada de assíntota vertical  do gráfico  da função f se pelo menos  das seguintes condições for válida:

• [tex]\displaystyle\tt\lim_{x \to a^{+}}f(x)=+\infty[/tex]
• [tex]\displaystyle\tt\lim_{ x \to a^{+}}f(x)=-\infty[/tex]
• [tex]\displaystyle\tt\lim_{x \to a^{-}} f(x)=+\infty[/tex]
• [tex]\displaystyle\tt\lim_{x \to a^{-}}f(x)=-\infty[/tex]

✍️Vamos a resolução do exercício

a) Aqui vamos encontrar as raízes do denominador caso existam, realizar o estudo do sinal e obter os limites infinitos para enfim concluir que a raiz é uma assíntota vertical do gráfico de f.

[tex]\Large\boxed{\begin{array}{l}\sf f(x)=\dfrac{x}{x^2-x-2}\\\\\sf x^2-x-2=0\\\sf\Delta=b^2-4ac\\\sf\Delta=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-2)\\\sf\Delta=1+8\\\sf\Delta=9\\\sf x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\\\\\sf x=\dfrac{-(-1)\pm\sqrt{9 }}{2\cdot1}\\\\\sf x=\dfrac{1\pm3}{2}\begin{cases}\sf x_1=\dfrac{1+3}{2}=\dfrac{4}{2}=2\\\\\sf x_2=\dfrac{1-3}{2}=-\dfrac{2}{2}=-1\end{cases}\end{array}}[/tex]

estudo do sinal:

[tex]\Large\boxed{\begin{array}{l}\sf f(x) > 0\implies x < -1\,ou\,x > 2\\\sf f(x) < 0\implies -1 < x < 2\end{array}}[/tex]

análise dos limites laterais:

[tex]\Large\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\sf\lim_{x \to -1^{+}}\dfrac{x}{x^2-x-2}=-\dfrac{1}{0^{-}}=+\infty\\\\\displaystyle\sf\lim_{x \to -1^{-}}\dfrac{x}{x^2-x-2}=-\dfrac{1}{0^{+}}=-\infty\\\\\sf x=-1\,\acute e\,ass\acute{_{_{l}}}ntota\,vertical\end{array}}[/tex]

[tex]\Large\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\sf\lim_{x \to 2^{+}}\dfrac{x}{x^2-x-2}=\dfrac{2}{0^{+}}=+\infty\\\\\displaystyle\sf\lim_{x \to 2^{-}}\dfrac{x}{x^2-x-2}=\dfrac{2}{0^{-}}=-\infty\\\\\sf x=2\,\acute e\,ass\acute{_{_{l}}}ntota\,vertical\end{array}}[/tex]

o gráfico está no anexo

b) Procedendo de forma análoga ao item anterior temos:

[tex]\Large\boxed{\begin{array}{l}\sf g(x)=\dfrac{x}{x^2-x+2}\\\\\sf x^2-x+2=0\\\sf\Delta=b^2-4ac\\\sf\Delta=(-1)^2-4\cdot1\cdot2\\\sf\Delta=1-8\\\sf\Delta=-7 < 0\implies \not\exists x\in\mathbb{R}\end{array}}[/tex]

como  o denominador não possui raízes reais então  o gráfico de g não possui assíntotas verticais.

Saiba mais em:

brainly.com.br/tarefa/41738115

brainly.com.br/tarefa/24750456