Letra C.

[tex]lim _{x⟶1} ( \frac{x {}^{x} - x}{ \sqrt{x {}^{x} } - \sqrt{x} } )\\ [/tex]

[tex]lim_{x⟶1}( \sqrt{x {}^{x} } + \sqrt{x} ) \\ [/tex]

[tex] \sqrt{1 {}^{1} } + \sqrt{1} \\ [/tex]

[tex]1 + 1 \\ [/tex]

[tex]\boxed{\boxed{\boxed{2}}} \\ [/tex]

Resposta:

Alternativa c)

Explicação passo-a-passo:

Substituindo 1 em x, temos:

⇒ (1^1 − 1)/(√1^1 − √1)

⇒ (1 − 1)/(√1 − √1)

⇒ 0/0, indeterminação

Para nos livrar desta indeterminação, vamos recorrer a uma manipulacao algébrica:

lim_(x→1)[(x^x − x)/(√x^x − √x)]

lim_(x→1) [(√x^x + √x)(√x^x − √x)/(√x^x − √x)] {Eliminamos os termos semelhantes}

lim_(x→1)[(√x^x + √x)/1]

lim_(x→1)[√x^x + √x]

Com a indeterminação resolvida, podemos substituir novamente 1 em x:

lim_(x→1)[(√x^x ) + (√x)]

⇒ √1^1 + √1

⇒ √1 + √1

⇒ 1 + 1

⇒ 2

∴ lim_(x→1)[(x^x − x)/(√x^x − √x)] = 2