Dada a equação x³-y³=1 e admitindo que esta equação defina uma função f tal que y = f(x), prove que y'' = -2x / y^5
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TiriricaDada a equação x³-y³=1 e admitindo que esta equação defina uma função f tal que y = f(x), prove que y'' = -2x / y^5 ----------- tem que fazer por derivação implícita. aplicando d/dx na equação dx³/dx - dy³/dx = d1/dx 3x² - 3y²dy/dx = 0 dy/dx = 3x²/3y²
dy/dx(ou y') = x²/y²
fazemos a mesma coisa para y', pois dy'/dx = y" aplicando d/dx dy'/dx = d(x²/y²)/dx usamos a regra da divisão de funções : (u'v - uv')/v² y" = (2xy² - x²2ydy/dx) / y⁴
veja de dy/dx = x²/y² lá em cima y" = (2xy² - 2x²y.x²/y²) / y⁴ agora é trabalho algébrico y" = (2xy² - 2x⁴/y) / y⁴ (multiplicando numerador e denominador por y) y" = (2xy³ - 2x⁴) / y⁵
lembra lááá em cima a 1ª equação : x³ - y³ = 1, pois então y³ = x³ - 1 y" = [2x(x³-1) - 2x⁴] / y⁵ finalmente, anulando 2x⁴ y" = -2x / y⁵
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Tiririca
alguns expoentes 4 e 5 sairam na linha seguinte, mas acho que dá prá entender.
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tem que fazer por derivação implícita.
aplicando d/dx na equação
dx³/dx - dy³/dx = d1/dx
3x² - 3y²dy/dx = 0
dy/dx = 3x²/3y²
dy/dx(ou y') = x²/y²
fazemos a mesma coisa para y', pois dy'/dx = y"
aplicando d/dx
dy'/dx = d(x²/y²)/dx usamos a regra da divisão de funções : (u'v - uv')/v²
y" = (2xy² - x²2ydy/dx) / y⁴
veja de dy/dx = x²/y² lá em cima
y" = (2xy² - 2x²y.x²/y²) / y⁴ agora é trabalho algébrico
y" = (2xy² - 2x⁴/y) / y⁴ (multiplicando numerador e denominador por y)
y" = (2xy³ - 2x⁴) / y⁵
lembra lááá em cima a 1ª equação : x³ - y³ = 1, pois então
y³ = x³ - 1
y" = [2x(x³-1) - 2x⁴] / y⁵
finalmente, anulando 2x⁴
y" = -2x / y⁵