Réponse:

1. Pour déterminer les restes de la division euclidienne de 5^n par 11, il suffit de calculer les premières valeurs pour différentes valeurs de n :

n=0 : 5^0 = 1, donc le reste de la division par 11 est 1.

n=1 : 5^1 = 5, donc le reste de la division par 11 est 5.

n=2 : 5^2 = 25, donc le reste de la division par 11 est 3.

n=3 : 5^3 = 125, donc le reste de la division par 11 est 4.

n=4 : 5^4 = 625, donc le reste de la division par 11 est 9.

n=5 : 5^5 = 3125, donc le reste de la division par 11 est 1.

n=6 : 5^6 = 15625, donc le reste de la division par 11 est 5.

...

En observant ces restes, on peut remarquer un motif : 1, 5, 3, 4, 9, 1, 5, 3, 4, 9, ...

Le motif se répète tous les 5 termes. Donc, pour n quelconque, le reste de la division euclidienne de 5^n par 11 sera le même que le reste de la division euclidienne de 5^(n mod 5) par 11.

2. Nous pouvons maintenant déterminer le reste de la division par 11 de 2 018^2019 en utilisant ce motif.

2019 mod 5 = 4, donc le reste de la division par 11 de 2 018^2019 est le même que le reste de la division par 11 de 2 018^4, qui est 9 (d'après le motif).

Donc, le reste de la division par 11 de 2 018^2019 est 9.