a) Démontrer que pour tout entier naturel n non nul : 10^n congrue 1 (9).
On désigne par N un entier naturel ecrit en base dix et on appelle S la somme de ses chiffres.
Démontrer la relation suivante : N congrue S(9).
c) En déduire que N est divisible par 9 si, et seulement si, S est divisible par 9.
2. On suppose que A = 2 014^2014.
On désigne par :
-B la somme des chiffres de A,
-C la somme des chiffres de B,
-D la somme des chiffres de C
a)Démontrer la relation suivante: A congrue D(9).
b)Sachant que 2 014 < 10 000, démontrer que A s'écrit en numération décimale avec au plus 8 056 chiffres. En déduire que B ≤ 72504.
c)Démontrer que C ≤ 45.
d)En étudiant la liste des entiers inférieurs à 45, déterminer un majorant de D plus petit que 15.
e)Démontrer que D = 7.