Soit a un nombre réel fixé non nul.
Le but de cet exercice est d’étudier le sens de variation de la suite (un) définie par : u0 =a et,pour tout n appartient à N, un+1 =e^2un −e^un
Soit g la fonction définie pour tout réel x par : g(x)=e^2x −e^x −x.
(1) Calculer g′(x) et prouver que, pour tout réel x : g′(x) = (e^x − 1) (2e^x + 1).
(2) Déterminer les variations de la fonction g et donner la valeur de son minimum.
(3) En remarquant que un+1 − un = g (un), étudier le sens de variation de la suite (un).